【題目】已知銳角∠MBN的余弦值為,點C在射線BN上,BC25,點A在∠MBN的內(nèi)部,且∠BAC90°,∠BCA=∠MBN.過點A的直線DE分別交射線BM、射線BN于點D、E.點F在線段BE上(點F不與點B重合),且∠EAF=∠MBN

1)如圖1,當AFBN時,求EF的長;

2)如圖2,當點E在線段BC上時,設(shè)BFx,BDy,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出函數(shù)定義域;

3)聯(lián)結(jié)DF,當ADFACE相似時,請直接寫出BD的長.

【答案】(1)16(2)(3)

【解析】

1)由銳角三角函數(shù)可求AC15,根據(jù)勾股定理和三角形面積公式可求AB,AF的長,即可求EF的長;

2)通過證△FAE∽△FCA和△BDE∽△CFA,可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式;

3)分△ADF∽△CEA,△ADF∽△CAE兩種情況討論,通過等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形性質(zhì)可求BD的長.

1)∵在RtABC中,∠BAC90°

cosBCAcosMBN,

AC15

AB20

SABC×AB×AC×BC×AF,

AF12,

AFBC

cosEAFcosMBN

AE20

EF16

2)如圖,過點AAHBC于點H,

由(1)可知:AB20,AH12,AC15,

BH16

BFx,

FH16x,CF25x

AF2AH2+FH2144+16x2x232x+400,

∵∠EAF=∠MBN,∠BCA=∠MBN

∴∠EAF=∠BCA,且∠AFC=∠AFC,

∴△FAE∽△FCA

,∠AEF=∠FAC

AF2FC×EF

x232x+400=(25x×EF,

EF

BEBF+EF

∵∠MBN=∠ACB,∠AEF=∠FAC,

∴△BDE∽△CFA

y0<x

3)如圖,若ADF∽△CEA,

∵△△ADF∽△CEA

∴∠ADF=∠AEC,

∵∠EAF=∠MBN,∠EAF+DAF180°,

∴∠DAF+MBN180°,

∴點A,點F,點B,點D四點共圓,

∴∠ADF=∠ABF,

∴∠ADF=∠AEC=∠ABF,

ABAE

∵∠BAC90°,

∴∠ABC+ACB90°,且∠ABF=∠AEC,∠ACB=∠MBN=∠EAF,

∴∠AEC+EAF90°,∠AEC+MBN90°,

∴∠BDE90°=∠AFC,

SABC×AB×AC×BC×AF,

AF12

BF,

ABAE,∠AFC90°

BE2BF32,

cosMBN,

BE,

如圖,若ADF∽△CAE,

∵△ADF∽△CAE,

∴∠ADF=∠CAE,∠AFD=∠AEC

ACDF

∴∠DFB=∠ACB,且∠ACB=∠MBN,

∴∠MBN=∠DFB

DFBD,

∵∠EAF=∠MBN,∠EAF+DAF180°,

∴∠DAF+MBN180°,

∴點A,點F,點B,點D四點共圓,

∴∠ADF=∠ABF,

∴∠CAE=∠ABF,且∠AEC=∠AEC

∴△ABE∽△CAE

設(shè)CE3k,AE4k,(k≠0

BEk,

BCBECE25

k

AE,CEBE

∵∠ACB=∠FAE,∠AFC=∠AFE,

∴△AFC∽△EFA,

,

設(shè)AF7a,EF20a,

CFa

CEEFCFa,

a

EF,

ACDF,

,

DF

綜上所述:當BD時,ADFACE相似

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