Question

如圖（1），已知圓O是等邊△ABC的外接圓，過(guò)O點(diǎn)作MN∥BC分別交AB、AC于M、N，且MN=a．另一個(gè)與△ABC全等的等邊△DEF的頂點(diǎn)D在MN上移動(dòng)（不與點(diǎn)M、N重合），并始終保持EF∥BC，DF交AB于點(diǎn)P，DE交AC于點(diǎn)Q．
（1）試判斷四邊形APDQ的形狀，并進(jìn)行證明；
（2）設(shè)DM為x，四邊形APDQ的面積為y，試探究y與x的函數(shù)關(guān)系式；四邊形APDQ的面積能取到最大值嗎？如果能，請(qǐng)求出它的最大值，并確定此時(shí)D點(diǎn)的位置．
（3）如圖（2），當(dāng)D點(diǎn)和圓心O重合時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形APDQ的形狀，并說(shuō)明理由；你能發(fā)現(xiàn)四邊形APDQ的面積與△ABC的面積有何關(guān)系嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）應(yīng)該是平行四邊形，已知∠BAC=∠FOE=60°，那么證明∠BPD=∠CQD=60°就是關(guān)鍵，可根據(jù)FE∥MN∥BC，用內(nèi)錯(cuò)角相等，得出∠AMN=∠MDP=∠ANM=∠EDN=60°，那么可根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠DPM=∠DQN=60°，由此可得出四邊形APDQ的兩組對(duì)邊都平行，也就得出是平行四邊形的結(jié)論．
（2）要求四邊形的面積，就要知道一邊和這邊上的高分別是多少，告訴了DM=x，那么DN=a-x，根據(jù)（1）不難得出三角形MDP和DQN都是等邊三角形，那么DP=x，DP邊上的高可以用DN•sin60°來(lái)表示，那么可根據(jù)平行四邊形的面積公式求出y與x的函數(shù)關(guān)系式．然后可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出面積的最大值和D的位置．
（3）應(yīng)該是菱形，如果D，O重合，那么OM=ON，那么兩個(gè)等邊三角形MDP和DQN就應(yīng)該全等，那么OP=OQ，因此平行四邊形APOQ應(yīng)該是菱形，有三角形ABC的邊長(zhǎng)又知道它是等邊三角形，那么它的面積就不難求出，（2）中已經(jīng)得出了平行四邊形APOQ的面積，那么可以通過(guò)比較得出他們的關(guān)系．

解答：解：（1）可知四邊形APDQ為平行四邊形
證明：由題知△ABC≌△DEF且△ABC
△DEF為等邊三角形
∴∠BAC=∠EDF=60°
又∵EF∥BC，MN∥BC
∴EF∥BC∥MN
∴∠MDF=∠DFE=60°，∠FED=∠EDN=60°
∠MNA=∠BCA=60°，∠QDN=∠QND=60°
∴△DQN為等邊三角形
∴∠DQN=∠PDQ=60°，
∴PD∥AQ
∴∠BAC=∠DQN=60°，
∴AP∥DQ
∴四邊形APDQ為平行四邊形．

（2）y=

3

2

x（a-x）=-

3

2

x²+

3

2

ax=-

3

2

（x-

a

2

）²+

3

8

a²
∴當(dāng)x取

a

2

時(shí)，即D點(diǎn)位于MN的中點(diǎn)位置時(shí)，四邊形APDQ的面積最大，且最大值為

3

8

a²．

（3）當(dāng)D點(diǎn)和圓心O重合時(shí)，四邊形APDQ為菱形，
理由：由（1）、（2）可知，△MPO，△QON為等邊三角形，且MO=ON，
所以△MPO≌△QON．
因此OP=OQ，又因?yàn)樗倪呅蜛PDQ為平行四邊形．
所以可知四邊形APDQ為菱形，
由題可知，S_△ABC=

9

16

3

a²，而由（2）知S_{四邊形APDQ}=

3

8

a²
∴

S四邊形APDQ

S△ABC

=

3 8 a2

9 16 3 a2

=

2

9

，
∴S_{四邊形APDQ}=

2

9

S_△ABC．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行四邊形，菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)特殊角來(lái)得出線段間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．