Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的半徑為r（r＞1），P是圓內(nèi)與圓心C不重合的點(diǎn)，⊙C的“完美點(diǎn)”的定義如下：若直線CP與⊙C交于點(diǎn)A，B，滿足|PA﹣PB|=2，則稱點(diǎn)P為⊙C的“完美點(diǎn)”，如圖為⊙C及其“完美點(diǎn)”P的示意圖．

（1）當(dāng)⊙O的半徑為2時(shí)，

①在點(diǎn)M，N（0，1），T中，⊙O的“完美點(diǎn)”是　 　；

②若⊙O的“完美點(diǎn)”P在直線y=x上，求PO的長及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）⊙C的圓心在直線y=x+1上，半徑為2，若y軸上存在⊙C的“完美點(diǎn)”，求圓心C的縱坐標(biāo)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①N，T；②PO的長為1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；（2）

【解析】

（1）①利用圓的“完美點(diǎn)”的定義直接判斷即可得出結(jié)論；

②先根據(jù)圓的“完美點(diǎn)”的定義列出方程求解，再將P點(diǎn)分為在第一象限和第三象限兩種情況即得．

（2）先確定圓的“完美點(diǎn)”的軌跡，再確定取極值時(shí)⊙C與y軸的位置關(guān)系即得．

解：（1）①∵點(diǎn)M

∴設(shè)⊙O與x軸的交點(diǎn)為A，B

∵⊙O的半徑為2

∴取A（﹣2，0），B（2，0）

∴

∴點(diǎn)M不是⊙O的“完美點(diǎn)”，同理可得：點(diǎn)N，T是⊙O的“完美點(diǎn)”．

故答案為：N，T；

②如圖1：

根據(jù)題意，

∴

∴OP=1

若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q

∵點(diǎn)P在直線上

∴設(shè)

∴，

∵OP=1，

∴OQ=，PQ=

∴

若點(diǎn)P在第三象限內(nèi)，根據(jù)對(duì)稱性可知其坐標(biāo)為

綜上所述，PO的長為1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．

（2）對(duì)于⊙C的任意一個(gè)“完美點(diǎn)”P都有

∴

∴CP=1

∴對(duì)于任意的點(diǎn)P，滿足CP=1，都有，即

故對(duì)于任意的點(diǎn)P，滿足CP=1時(shí)點(diǎn)P為⊙C的“完美點(diǎn)”．

因此，⊙C的“完美點(diǎn)”構(gòu)成以點(diǎn)C為圓心，1為半徑的圓．

設(shè)直線與y軸交于點(diǎn)D，如圖2：

當(dāng)⊙C移動(dòng)到與y軸相切且切點(diǎn)在點(diǎn)D的下方時(shí)，t的值最小．

設(shè)切點(diǎn)為E，連接CE

∴

∵⊙C的圓心在直線上

∴此直線和y軸，x軸的交點(diǎn)分別是D（0，1），F

∴OF=，OD=1

∵

∴CE∥OF

∴

∴

∴

∴DE=

∴OE=

∴t的最小值為．

當(dāng)⊙C移動(dòng)到與y軸相切且切點(diǎn)在點(diǎn)D的上方時(shí)，t的值最大．

同理可得：t的最大值為

綜上所述，t的取值范圍為