Question

【題目】（定義）連結(jié)三角形一個頂點(diǎn)及這個頂點(diǎn)所對邊上的任意一點(diǎn)，若構(gòu)成的線段能將三角形分割成兩個等腰三角形，則稱這條線段是這個三角形的完美分割線．

（嘗試）

（1）如圖，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，請用直尺和圓規(guī)畫出△ABC 的完美分割線．

（2）若一個直角三角形有兩條完美分割線，請求出這個直角三角形最小內(nèi)角的度數(shù)．

（探究）

（3）一個等腰三角形的腰長為 8，其中一條完美分割線分得的兩個三角形中有一個三角形與原三角形相似，求對應(yīng)完美分割線的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）22.5度；（3）完美分割線的長度為或

【解析】

（1）作AB邊的垂直平分線交AB于P，連接CP，則線段CP即為△ABC 的完美分割線；

（2）根據(jù)完美分割線的定義可知，直角三角形有兩條完美分割線時，其中一條是斜邊上的中線，另一條會構(gòu)成等腰直角三角形，據(jù)此求解即可；

（3）分三種情況討論：①當(dāng)原三角形為銳角三角形時，②當(dāng)原三角形為直角三角形時，③當(dāng)原三角形為鈍角三角形時，分別作出圖形，利用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．

解：（1）如圖所示，線段CP即為△ABC 的完美分割線；

（2）∵直角三角形有兩條完美分割線，

∴其中一條是斜邊上的中線，另一條會構(gòu)成等腰直角三角形，

如圖1，∠C＝90°，BC＝CP，PB＝PA，

∴∠CBP＝∠CPB＝45°，

∴∠A＝∠PBA＝22.5°，

∴∠ABC＝90°－22.5°＝67.5°，

如圖2，P為AB中點(diǎn)，則PB＝PC＝PA，

即CP也是△ABC的完美分割線，

故這個直角三角形最小內(nèi)角的度數(shù)為22.5°；

（3）①當(dāng)原三角形為銳角三角形時，如圖所示，BP為完美分割線，

設(shè)BP＝x，

∵AB＝AC＝8，△ABC∽△BCP，

∴，即，

解得：或（舍去），

即完美分割線BP的長度為；

②當(dāng)原三角形為直角三角形時，由題意可知該三角形為等腰直角三角形，如圖所示，BP為完美分割線，

∵AB＝BC＝8，

∴AC＝，

∴BP＝，

即完美分割線BP的長度為；

③當(dāng)原三角形為鈍角三角形時，如圖所示，BP為完美分割線，

設(shè)BP＝x，

∵BA＝BC＝8，△BPC∽△CBA，

∴，即，

得：或（舍去），

即完美分割線BP的長度為；

綜上：對應(yīng)完美分割線的長度為或．