Question

（1）如圖1，點P是平行四邊形ABCD對角線AC、BD的交點，若S_△PAB=S₁，S_△PBC=S₂，S_△PCD=S₃，S_△PAD=S₄則S₁、S₂、S₃、S₄的關系為S₁=S₂=S₃=S₄．請你說明理由；
（2）變式1：如圖2，點P是平行四邊形ABCD內一點，連接PA、PB、PC、PD．若S_△PAB=S₁，S_△PBC=S₂，S_△PCD=S₃，S_△PAD=S₄，則S₁、S₂、S₃、S₄的關系為

 

；
（3）變式2：如圖3，點P是四邊形ABCD對角線AC、BD的交點若S_△PAB=S₁，S_△PBC=S₂，S_△PCD=S₃，S_△PAD=S₄，則S₁、S₂、S₃、S₄的關系為

 

．請你說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的對角相互相平分與如果三角形等底等高面積相同，得解；
（2）可以根據(jù)△ABD≌△CDB求得；
（3）由△ABP中AP邊上的高與△BCP中CP邊上的高相同與△PAD中AP邊上的高與△PCD中CP邊上的高相同，可得

S△PAB

S△PBC

=

PA

PC

即

S1

S2

=

PA

PC

，

S△PAD

S△PCD

=

PA

PC

即

S4

S3

=

PA

PC

，所以

S1

S2

=

S4

S3

，即S₁•S₃=S₂•S₄．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AP=CP，
又∵△ABP中AP邊上的高與△BCP中CP邊上的高相同，
∴S_△PAB=S_△PBC，
即S₁=S₂，
同理可證S₂=S₃S₃=S₄，
∴S₁=S₂=S₃=S₄；

（2）S₁+S₃=S₂+S₄；

（3）S₁•S₃=S₂•S₄；
理由：
∵△ABP中AP邊上的高與△BCP中CP邊上的高相同，
∴

S△PAB

S△PBC

=

PA

PC

即

S1

S2

=

PA

PC

，
∵△PAD中AP邊上的高與△PCD中CP邊上的高相同，
∴

S△PAD

S△PCD

=

PA

PC

即

S4

S3

=

PA

PC

，
∴

S1

S2

=

S4

S3

，
∴S₁•S₃=S₂•S₄．

點評：此題考查了平行四邊形的性質．解題的關鍵是注意：等底等高的三角形面積相等，等底的三角形的面積比等于高的比，等高的三角形面積的比等于底的比．