【題目】如果一個(gè)三角形能被一條線段分割成兩個(gè)等腰三角形,那么稱這條線段為這個(gè)三角形的特異線,稱這個(gè)三角形為特異三角形.
(1)如圖1,△ABC中,∠B=2∠C,線段AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.求證:AE是△ABC的一條特異線.
(2)如圖2,已知△ABC是特異三角形,且∠A=30°,∠B為鈍角,求出所有可能的∠B的度數(shù).
(3)如圖3,△ABC是一個(gè)腰長(zhǎng)為2的等腰銳角三角形,且它是特異三角形,若它的頂角度數(shù)為整數(shù),請(qǐng)求出其特異線的長(zhǎng)度;若它的頂角度數(shù)不是整數(shù),請(qǐng)直接寫(xiě)出頂角度數(shù).
【答案】(1)AE是△ABC是一條特異線
(2)符合條件的∠ABC的度數(shù)為135°或112.5°或140°.
(3)若它的頂角度數(shù)不是整數(shù),則頂角度數(shù)為()°.
【解析】
試題分析:(1)只要證明△ABE,△AEC是等腰三角形即可.
(2)如圖2中,當(dāng)BD是特異線時(shí),分三種情形討論,如圖3中,當(dāng)AD是特異線時(shí),AB=BD,AD=DC根據(jù)等腰三角形性質(zhì)即可解決問(wèn)題,當(dāng)CD為特異線時(shí),不合題意.
(3)如圖3中,當(dāng)BD是特異線時(shí),分兩種情形討論即可.當(dāng)AD是特異線時(shí),不合題意.
試題解析:(1)證明:如圖1中,
∵DE是線段AC的垂直平分線,
∴EA=EC,即△EAC是等腰三角形,
∴∠EAC=∠C,
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,
∵∠B=2∠C,
∴∠AEB=∠B,即△EAB是等腰三角形,
∴AE是△ABC是一條特異線.
(2)如圖2中,
當(dāng)BD是特異線時(shí),如果AB=BD=DC,則∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°=15°=135°,
如果AD=AC,DB=DC,則∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°,
如果AD=DB,DC=DB,則ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°(不合題意舍棄).
如圖3中,當(dāng)AD是特異線時(shí),AB=BD,AD=DC,則∠ABC=180°﹣20°﹣20°=140°
當(dāng)CD為特異線時(shí),不合題意.
∴符合條件的∠ABC的度數(shù)為135°或112.5°或140°.
(3)如圖3中,
當(dāng)BD是特異線時(shí),有兩種情形,如果AD=BD=BC,設(shè)∠A=x,則x+2x+2x=180°,解得x=36°,
設(shè)AD=BD=BC=a,
由△BCD∽△ABC得到,
∴,
∴a2+2a﹣4=0,
∴a=﹣1+或﹣1﹣(舍棄).
如果AD=BC,BC=CD,設(shè)∠A=x,則2x+2x+3x=180°解得x=()°.
當(dāng)AD是特異線時(shí),如果DA=DB,CA=CD,設(shè)∠B=∠C=x,則x+2x+2x=180°,解得x=36°,
∴∠BAC=108°,不符合題意.
∴△ABC是一個(gè)腰長(zhǎng)為2的等腰銳角三角形,且它是特異三角形,若它的頂角度數(shù)為整數(shù),其特異線的長(zhǎng)度為﹣1+,
若它的頂角度數(shù)不是整數(shù),則頂角度數(shù)為()°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,PQ為圓O的直徑,點(diǎn)B在線段PQ的延長(zhǎng)線上,OQ=QB=1,動(dòng)點(diǎn)A在圓O的上半圓運(yùn)動(dòng)(含P、Q兩點(diǎn)),以線段AB為邊向上作等邊三角形ABC.
(1)當(dāng)線段AB所在的直線與圓O相切時(shí),求△ABC的面積(圖1);
(2)設(shè)∠AOB=α,當(dāng)線段AB、與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)(即A點(diǎn))時(shí),求α的范圍(圖2,直接寫(xiě)出答案);
(3)當(dāng)線段AB與圓O有兩個(gè)公共點(diǎn)A、M時(shí),如果AO⊥PM于點(diǎn)N,求CM的長(zhǎng)度(圖3).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2018年6月,全國(guó)參加高等院校統(tǒng)一招生考試的學(xué)生約10 200 000人,其中10 200 000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為( )
A. 10.2×106 B. 1.02×107 C. 0.102×108 D. 1.02×109
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】宜昌市2015年中考學(xué)生人數(shù)約為2.83萬(wàn)人,近似數(shù)2.83萬(wàn)是精確到( )
A. 十分位 B. 百分位 C. 千位 D. 百位
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在BC,AC上,且BE=CF,連結(jié)AE與BF相交于點(diǎn)G.將△ABC沿AB邊折疊得到△ABD,連結(jié)DG.延長(zhǎng)EA到點(diǎn)H,使得AH=BG,連結(jié)DH.
(1)求證:四邊形DBCA是菱形.
(2)若菱形DBCA的面積為8,,求△DGH的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一天的生活當(dāng)中,在( )時(shí)其影子最短.
A.6點(diǎn) B. 12點(diǎn) C.15點(diǎn) D.18點(diǎn)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列四個(gè)命題:①直徑所對(duì)的圓周角是直角;②圓既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形;③在同圓中,相等的圓周角所對(duì)的弦相等;④三點(diǎn)確定一個(gè)圓.其中正確命題的個(gè)數(shù)為( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列四個(gè)命題:①對(duì)頂角相等;②內(nèi)錯(cuò)角相等;③平行于同一條直線的兩條直線互相平行; ④如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊,那么這兩個(gè)角相等.其中真命題的是__________(填序號(hào)).
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