Question

【題目】問題提出：若一個四邊形的兩組對邊乘積之和等于它的兩條對角線的乘積，則稱這個四邊形為巧妙四邊形．

初步思考：（1）寫出你所知道的四邊形是巧妙四邊形的兩種圖形的名稱： ， ．

（2）小敏對巧妙四邊形進行了研究，發(fā)現圓的內接四邊形一定是巧妙四邊形．

如圖①，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形．

求證：AB·CD＋BC·AD＝AC·BD．

小敏在解答此題時，利用了“相似三角形”進行證明，她的方法如下：

在BD上取點M，使∠MCB＝∠DCA．

（請你在下面的空白處完成小敏的證明過程．）

推廣運用：如圖②，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AD＝，AB＝，CD＝2．求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）正方形，矩形（答案不惟一）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】試題分析:(1)根據巧妙四邊形的定義可寫出符合條件的四邊形,等腰梯形,矩形,正方形等,(2)圓內接四邊形對角線為圓內兩條相交的弦,根據同弧所對圓周角相等可證等角,再根據兩角分別對應相等的兩個三角形相似可證相似三角形,根據相似三角形的性質可得對應邊成比例,即可求證,(3)連接BD,可根據題目條件證明四點共圓,即四邊形ABCD為圓內接四邊形,再根據(2)的結論代入數值即可計算求解.

試題解析:（1）正方形,矩形（答案不惟一）,

（2）∵ 在⊙O中,∠DAC和∠DBC是所對的圓周角,

∴ ∠DAC＝∠DBC,

又 ∠MCB＝∠DCA,

∴△MCB∽△DCA,

∴,

即 BC·AD＝AC·BM,

∵ 在⊙O中,∠CDB和∠CAB是所對的圓周角,

∴ ∠CDB＝∠CAB．

又 ∠DCM＝∠ACB,

∴ △DCM∽△ACB,

∴ ,

即 AB·CD＝AC·DM,

AC·BM＝AC·(DM＋BM),

即 AB·CD＋BC·AD＝AC·BD,

（3）連接BD,取BD中點M,連接AM,CM,

在Rt△ABD中,BD==3,

在Rt△BCD中，BC==,

∵ 在Rt△ABD中,M是BD中點,

∴AM＝BD,

∵在Rt△BCD中,M是BD中點,

∴CM＝BD,

∴AM＝CM＝MB＝MD,

∴A,B,C,D四點在以點M為圓心,MA為半徑的圓上,

即四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形,

由（2）的結論可知AB·CD＋BC·AD＝AC·BD,

∴ AC=.