Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，

（1）若P是BC邊上的中點，連結AP，求證：BP×CP=AB²一AP²；
（2）若P是BC邊上任意一點，上面的結論還成立嗎?若成立，請證明，若不成立，請說明理由；
（3）若P是BC邊延長線上一點，線段AB、AP、BP、CP之間有什么樣的關系?請證明你的結論？

Answer 1

（1）先連接AP，由于AB=AC，P是BC中點，利用等腰三角形三線合一定理可知AP⊥BC，再在直角三角形利用勾股定理可得AB²=BP²+AP²，即AB²-AP²=BP²，而BP=CP，易得BP•CP=BP²，那么此題得證；（2）成立；（3）AP²-AB²=BP•CP．

試題分析：（1）先連接AP，由于AB=AC，P是BC中點，利用等腰三角形三線合一定理可知AP⊥BC，再在直角三角形利用勾股定理可得AB²=BP²+AP²，即AB²-AP²=BP²，而BP=CP，易得BP•CP=BP²，那么此題得證；
（2）成立．連接AP，作AD⊥BC，交BC于D，在等腰三角形ABC中利用三線合一定理，可知BD=CD，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AB²=AD²+BD²，同理有AP²=AD²+DP²，易求AB²-AP²的差，而BP=BD+DP，CP=CD-CP=BD-DP，易求BP•CP，從而可證AB²-AP²=BP•CP；
（3）AP²-AB²=BP•CP．連接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，在△ABC中，利用等腰三角形三線合一定理可知
BC=CD，在Rt△ABC中和Rt△ADP中，利用勾股定理分別表示AP²、AB²，而BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD，
易求BP•CP的值，從而可證AP²-AB²=BP•CP．
（1）連接AP

∵AB=AC，P是BC中點，
∴AP⊥BC，BP=CP， 
在Rt△ABP中，AB²=BP²+AP²，
∴AB²-AP²=BP²，
又∵BP=CP，
∴BP•CP=BP²，
∴AB²-AP²=BP•CP；
（2）成立．
如右圖所示，連接AP，作AD⊥BC，交BC于D，

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD， 
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²，
同理，AP²=AD²+DP²，
∴AB²-AP²=AD²+BD²-（AD²+DP²）=BD²-DP²，
又∵BP=BD+DP，CP=CD-DP=BD-DP，
∴BP•CP=（BD+DP）（BD-DP）=BD²-DP²，
∴AB²-AP²=BP•CP；
（3）AP²-AB²=BP•CP．
如右圖，P是BC延長線任一點，連接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²，
在Rt△ADP中，AP²=AD²+DP²，
∴AP²-AB²=（AD²+BD²）-（AD²+DP²）=PD²-BD²，
又∵BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD，
∴BP•CP=（BD+DP）（DP-BD）=DP²-BD²，
∴AP²-AB²=BP•CP．
點評：本題綜合性強，難度較大，用BD、DP的和差來表示BP和CP是解題的關鍵.