Question

如圖，已知△ABC與△BDE都是等邊三角形，點D在邊AC上（不與A、C重合），DE與AB相交于點F．
（1）求證：△BCD∽△DAF；
（2）若BC=1，設(shè)CD=x，AF=y；
①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；
②當(dāng)x為何值時，

S△BEF

S△BCD

=

7

9

？

Answer 1

分析：（1）由△ABC與△BDE都是等邊三角形，可得∠A=∠C=∠BDE=60°，即可得∠ADF=∠DBC，根據(jù)有兩個角對應(yīng)相等的三角形相似，可得△BCD∽△DAF；
（2）①根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得

BC

AD

=

CD

AF

，代入數(shù)值，化簡即可得y=x-x²（0＜x＜1）；
②由有兩個角對應(yīng)相等的三角形相似，可得△EBF∽△CBD，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例與相似三角形的面積比等于相似比的平方，可得比例式，列方程即可求得．

解答：解：（1）證明：∵△ABC與△BDE都是等邊三角形，
∴∠A=∠C=∠BDE=60°，
∵∠ADF+∠BDE=∠C+∠DBC，
∴∠ADF=∠DBC，
∴△BCD∽△DAF．

（2）①解：∵△BCD∽△DAF，
∴

BC

AD

=

CD

AF

，
∵BC=1，設(shè)CD=x，AF=y，
∴

1

1-x

=

x

y

，
∴y=x-x²（0＜x＜1）．
②解：解法一：∵△ABC與△BDE都是等邊三角形，
∴∠E=∠C=60°，∠EBD=∠CBA=60°，
∴∠EBF=∠CBD，
∴△EBF∽△CBD，
∴

BE

BC

=

BF

BD

，
∴BE•BD=BF•BC
∵BE=BD，
∴BE²=BF•BC，
BC=1，
∴BE²=BF，
∵△EBF∽△CBD，

S△BEF

S△BCD

=

7

9

，
∴

S△BEF

S△BCD

=

BE2

BC2

=

7

9

，
∴BE2=BF=

7

9

，
∴AF=

2

9

，
∴x-x2=

2

9

，
解得x1=

2

3

，x2=

1

3

，
∴當(dāng)x=

1

3

或

2

3

時，

S△BEF

S△BCD

=

7

9

．
解法二：∵△ABC與△BDE都是等邊三角形，
∴∠E=∠C=60°，∠EBD=∠CBA=60°，
∴∠EBF=∠CBD，
∴△EBF∽△CBD，
∵

S△BEF

S△BCD

=

7

9

，
∴

S△BEF

S△BCD

=

BE2

BC2

=

7

9

，
∵BC=1，BE=BD，
∴BD2=

7

9

．
過點B作BH⊥AC于點H，
∵∠C=60°，
∴BH=

3

2

，
∴DH=

1

6

，CH=

1

2

，
當(dāng)點D在線段CH上時，CD=CH-DH=

1

2

-

1

6

=

1

3

；
當(dāng)點D在線段CH的延長線上時，CD=CH+DH=

1

2

+

1

6

=

2

3

，
綜上所述，當(dāng)x=

1

3

或

2

3

時，

S△BEF

S△BCD

=

7

9

．

點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定．解題時要注意相似三角形的對應(yīng)邊成比例，相似三角形的面積比等于相似比的平方，以及有兩個角對應(yīng)相等的三角形相似．