Question

如圖，直線y=4x+4與x軸、y軸相交于B、C兩點(diǎn)，拋物線y=ax2-2ax+c（a≠0）過點(diǎn)B、C，且與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為A，以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC，CD交拋物線于點(diǎn)G．

（1）求拋物線的解析式以及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）已知直線x=m交OA于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，交拋物線（CD上方部分）于點(diǎn)P，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示PM的長(zhǎng)；

（3）在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)PC，若△PCF和△AEM相似，求m的值．

 

 

Answer 1

（1）y=-x2+x+4，（3，0）；（2）PM=-m2+4m（0＜m＜3）；（3）或1．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)直線的解析式易求B，C的坐標(biāo)將，再把其坐標(biāo)分別代入y=ax2-2ax+c，即可求出拋物線的解析式，設(shè)y=0，解方程即可求出A的坐標(biāo)；

（2）先根據(jù)A、C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，進(jìn)而根據(jù)拋物線和直線AC的解析式分別表示出點(diǎn)P、點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可得到PM的長(zhǎng)；

（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F(xiàn)和E對(duì)應(yīng)，則若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似時(shí)，分兩種情況進(jìn)行討論：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分別用含m的代數(shù)式表示出AE、EM、CF、PF的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等列出比例式，求出m的值．

試題解析：（1）∵直線y=4x+4與x軸、y軸相交于B、C兩點(diǎn)，

∴C坐標(biāo)為（0，4），

設(shè)y=0，則x=-1，

∴B坐標(biāo)為（-1，0），

∵拋物線y=ax2-2ax+c（a≠0）過點(diǎn)B、C，

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為y=-x2+x+4，

設(shè)y=0，0=-x2+x+4，

解得：x=-1或3，

∴A的坐標(biāo)為：（3，0）；

（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

∵A（3，0），點(diǎn)C（0，4），

∴，解得，

∴直線AC的解析式為y=-x+4．

∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)M在AC上，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，-m+4），

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)P在拋物線y=-x2+x+4上，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-m2+m+4），

∴PM=PE-ME=（-m2+m+4）-（-m+4）=-m2+4m，

即PM=-m2+4m（0＜m＜3）；

（3）在（2）的條件下，連結(jié)PC，在CD上方的拋物線部分存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似．理由如下：

由題意，可得AE=3-m，EM=-m+4，CF=m，PF=-m2+m+4-4=-m2+m．

若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似，分兩種情況：

①若△PFC∽△AEM，則PF：AE=FC：EM，

即（-m2+m）：（3-m）=m：（-m+4），

∵m≠0且m≠3，

∴m=．

②若△CFP∽△AEM，則CF：AE=PF：EM，

即m：（3-m）=（-m2+m）：（-m+4），

∵m≠0且m≠3，

∴m=1．

綜上所述，存在這樣的點(diǎn)P使△PFC與△AEM相似．此時(shí)m的值為或1．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．