Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．

（1）利用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母．（保留作圖痕跡，不寫作法）

①作AC的垂直平分線，交AB于點(diǎn)O，交AC于點(diǎn)D；

②以O為圓心，OA為半徑作圓，交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

（2）在（1）所作的圖形中，解答下列問題．

①點(diǎn)B與⊙O的位置關(guān)系是__；（直接寫出答案）

②若DE=2，AC=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】點(diǎn)B在⊙O上；

【解析】試題分析：（1）分別以A、C為圓心，以大于線段AC一半的長(zhǎng)度在線段AC上下兩側(cè)畫弧。連接交點(diǎn)級(jí)為線段AC的垂直平分線，交AB于點(diǎn)O，交AC于點(diǎn)D。

（2）比較OB和OA的長(zhǎng)，如果OA=OB則點(diǎn)B 在圓上，利用垂直平分線的性質(zhì)，及角與角之間的等量代換，可證明OA=OB。利用勾股定理，放在AOD中求半徑。

試題解析：解：（1）如圖所示；

（2）①連結(jié)OC，如圖，

∵OD垂直平分AC，

∴OA=OC，

∴∠A=∠ACO，

∵∠A+∠B=90°，∠OCB+∠ACO=90°，

∴∠B=∠OCB，

∴OC=OB，

∴OB=OA，

∴點(diǎn)B在⊙O上；

故答案為點(diǎn)B在⊙O上

②∵OD⊥AC，且點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，

∴AD=AC=4，

設(shè)⊙O的半徑為r，

則OA=OE=r，OD=OE﹣DE=r﹣2，

在Rt△AOD中，∵OA2=AD2+OD2，

即r2=42+（r﹣2）2，

解得r=5．

∴⊙O的半徑為5．