Question

如圖，拋物線y=x²+4x與x軸分別相交于點B、O，它的頂點為A，連接AB，把AB所在的直線沿y軸向上平移，使它經(jīng)過原點O，得到直線l，設(shè)P是直線l上有一動點．
（1）求點A的坐標；
（2）以點A、B、O、P為頂點的四邊形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，請分別直接寫出這些特殊四邊形的頂點P的坐標；
（3）設(shè)以點A、B、O、P為頂點的四邊形的面積為S，點P的橫坐標為x，當4+6

2

≤S≤6+8

2

時，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線的解析式，根據(jù)頂點公式，可求出A點的坐標（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）且a=1，b=4，c=0．
∵y=x²+4x=（x+2）²-4，∴A（-2，-4）．
（2）若ABOP為菱形時，根據(jù)菱形的性質(zhì)，則P點橫坐標與A坐標相同，然后再代入直線就可求出縱坐標，則P坐標就求出；若ABOP為等腰梯形時，OA=BP，已知O，A坐標，可求出OA長度，設(shè)P橫坐標為a，P在直線上，可用a表示出坐標，從而求出BP長度，OA=BP，可求出a的值，即求出P坐標．若ABOP為直角梯形時，BP與AB垂直，可求出直線BP的關(guān)系式，直線BP與直線l的交點即P點坐標．
（3）首先可以得出l的解析式．據(jù)圖分析有兩種情況可以構(gòu)成QABP為四邊形，即當P在第二象限時和在第四象限時，當P在第二象限時，四邊形由△AOB和△POB組成，△AOB面積確定，則△POB的面積可以求出來，由于△AOB+△POB代入到面積的不等式中可以得出x的取值范圍．同理當P在第四象限時，△AOB+△AOP代入到面積不等式中可以得到x的取值范圍．
得AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式是y=-2x-8，所以直線l對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x．
設(shè)點P坐標為（x，-2x），分別討論點P在第二象限以及第四象限的值．

解答：解：（1）∵y=x²+4x=（x+2）²-4，
∴A（-2，-4）．

（2）由已知條件可求得AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式是y=-2x-8，
所以直線l對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x．
當四邊形ABOP是菱形時，P點橫坐標與A點橫坐標相同，縱坐標與A點坐標互為相反數(shù)，四邊形ABP₁O為菱形時，P₁（-2，4）；
四邊形ABOP₂為等腰梯形時，設(shè)P₂橫坐標為a，將x=a代入y=-2x，得
P₂（a，-2a）．
又∵AO=

22+42

=2

5

，
∴P₂B=

(-4-a)2+(0+2a)2

，
∴

(-4-a)2+(0+2a)2

=2

5

，
整理得，5a²+8a-4=0，
解得，a=-2（舍去），a=

2

5

，故P₂（

2

5

，-

4

5

）；
ABOP為直角梯形時，BP₃與AB垂直，則直線BP的解析式為y=

1

2

x+b，
把B（-4，0）代入解析式得，

1

2

×（-4）+b=0，
解得b=2．
直線BP的解析式為y=

1

2

x+2，
故得

y= 1 2 x+2 y=-2x

，
解得

x=- 4 5 y= 8 5

，
四邊形ABP₃O為直角梯形時，P₃（-

4

5

，

8

5

）；
同理，當AP₄垂直于AB時，四邊形ABOP₄為直角梯形，P₄（

6

5

，-

12

5

）．

（3）設(shè)點P坐標為（x，-2x）．
①當點P在第二象限時，x＜0，
△POB的面積S_△POB=

1

2

×4×（-2x）=-4x．
∵△AOB的面積S_△AOB=

1

2

×4×4=8，
∴S=S_△AOB+S_△POB=-4x+8（x＜0）．
∵4+6

2

≤S≤6+8

2

，
∴

S≥4+6 2 S≤6+8 2

即

-4x+8≥4+6 2 -4x+8≤6+8 2

∴

x≤ 2-3 2 2 x≥ 1-4 2 2

∴x的取值范圍是

1-4 2

2

≤x≤

2-3 2

2

．
②當點P在第四象限時，x＞0，過點A、P分別作x軸的垂線，垂足為A′、P′．則四邊形POA′A的面積S_POA′A=S_{梯形PP′A′A}-S_△PP′O=

4+2x

2

•（x+2）-

1

2

•（2x）•x=4x+4．
∵△AA′B的面積S_△AA′B=

1

2

×4×2=4，
∴S=S_POA′A+S_△AA′B=4x+8（x＞0）．
∵4+6

2

≤S≤6+8

2

，
∴

S≥4+6 2 S≤6+8 2

即

4x+8≥4+6 2 4x+8≤6+8 2

∴

x≥ 3 2 -2 2 x≤ 4 2 -1 2

∴x的取值范圍是

3 2 -2

2

≤x≤

4 2 -1

2

．

點評：該題首先是考查了拋物線函數(shù)的特性，要求掌握拋物線函數(shù)的特點．其次是利用不等式通過動態(tài)點的變化來加深了解拋物線曲線和一次函數(shù)的關(guān)系．