Question

已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=,AE⊥BD，垂足是E.點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于AB的對稱點(diǎn)，連接AF、BF.
（1）求AE和BE的長；
（2）若將△ABF沿著射線BD方向平移，設(shè)平移的距離為m（平移距離指點(diǎn)B沿BD方向所經(jīng)過的線段長度）.當(dāng)點(diǎn)F分別平移到線段AB、AD上時(shí)，直接寫出相應(yīng)的m的值.
（3）如圖②，將△ABF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個角（0°＜＜180°），記旋轉(zhuǎn)中的△ABF為△A′BF′，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)A′F′所在的直線與直線AD交于點(diǎn)P.與直線BD交于點(diǎn)Q.是否存在這樣的P、Q兩點(diǎn)，使△DPQ為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)DQ的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）4，3；（2）當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)F在線段AD上時(shí)，；
（3）存在，.

試題分析：（1）由勾股定理求得BD的長，根據(jù)三角形面積公式求出AE的長，再應(yīng)用勾股定理即可求得BE的長.
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)求解即可.
（3）分DP=DQ（考慮點(diǎn)Q在線段BD的延長線和點(diǎn)Q在線段BD上兩種情況），QP=QD，PD=PQ三種情況求解即可.
試題解析：（1）∵AB=5，AD=，∴由勾股定理得.
∵，∴，解得AE=4.
∴.
（2）當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)F在線段AD上時(shí)，.
（3）存在，理由如下：
①當(dāng)DP=DQ時(shí)，若點(diǎn)Q在線段BD的延長線上時(shí)，如答圖1，有∠Q=∠1，則∠2=∠1+∠Q=2∠Q.
∵∠3=∠4+∠Q，∠3=∠2，∴∠4+∠Q=2∠Q.∴∠4=∠Q.
∴A′Q=A′B=5.∴F′Q=4+5=9.
在Rt△BF′Q中，，解得或（舍去）.

若點(diǎn)Q在線段BD上時(shí)，如答圖2，有∠1=∠2=∠4，
∵∠1=∠3，∴∠3=∠4.
∵∠3=∠5+∠A′，∠A′=∠CBD，∴∠3=∠5+∠CBD=∠A′BQ.∴∠4=∠∠A′BQ.∴A′Q= A′B=5.
∴F′Q=5-4=1.∴.∴.

②當(dāng)QP=QD時(shí)，如答圖3，有∠P=∠1，
∵∠A′=∠1，∠2=∠3，∴∠4=∠P.∴∠4=∠A′.∴QB="Q" A′.
設(shè)QB="Q" A′=x，
在Rt△BF′Q中，設(shè)備，解得.

③當(dāng)PD=PQ時(shí)，如答圖4，有∠1=∠2=∠3，
∵∠1=∠A′，∴∠3=∠A′.∴BQ=A′B=5.
∴.
綜上所述，當(dāng)△DPQ為等腰三角形時(shí)，DQ的長為.