Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸正半軸上），為等腰直角三角形，且面積為，現(xiàn)將拋物線沿方向平移，平移后的拋物線過點(diǎn)時(shí)，與軸的另一點(diǎn)為，其頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)為．

求、的值．

連接，試判斷是否為等腰三角形，并說明理由．

現(xiàn)將一足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)放在射線或射線上，一直角邊始終過點(diǎn)，另一直角邊與軸相交于點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與全等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】，；是等腰三角形，理由見解析；存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或或，使，，三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與全等．

【解析】

(1)先求出A（0,c），則OA=c，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得OA=OB=OC=c，再由三角形面積公式得=4，計(jì)算得出c=2，把C（2，0）代入即可求出a的值；

(2)如圖1，先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=x+2，設(shè)F（t，t+2），利用拋物線平移的規(guī)律可設(shè)平移后的拋物線解析式為，把C（2，0）代入解得：t=6，則平移后的拋物線解析式為，所以F（6，8），利用勾股定理計(jì)算出OF=10,由拋物線與x軸的交點(diǎn)問題確定E（10，0），則OE=OF=10，因此可判斷△OEF為等腰三角形；

(3)分類討論：當(dāng)點(diǎn)Q在射線HF上，點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，如圖2，利用三角形全等的判定方法，當(dāng)EQ=EO=10時(shí)，△EQP≌△EOP，則可根據(jù)勾股定理計(jì)算出QH=，于是得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，）；當(dāng)點(diǎn)Q在射線HF上，點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，如圖3，有PQ=OE=10，利用三角形相似的判定方法，△PKQ∽△QHK，計(jì)算出QH的值，得到Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，3）；

當(dāng)點(diǎn)Q在射線AF上，當(dāng)PQ=OE=10時(shí)，如圖4，有QE=PO，得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，12）；當(dāng)點(diǎn)Q在射線AF上，當(dāng)EQ=EO=10時(shí)，設(shè)Q（m，m+2），利用兩點(diǎn)間的距離公式得到關(guān)于m的方程為：，解方程求出m的值，即可得到Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

∵拋物線與軸交于點(diǎn)，

∴，則，

∵為等腰直角三角形，

∴，

∴，解得，

∴，

把代入得，解得；

是等腰三角形．理由如下：如圖，

設(shè)直線的解析式為，

把、代入得，解得，

則直線的解析式為，

設(shè)，

∵拋物線沿方向平移，平移后的拋物線過點(diǎn)時(shí)，頂點(diǎn)為，

∴平移后的拋物線解析式為，

把代入得，解得，

∴平移后的拋物線解析式為，

∴，

∴，

令，，解得，，

∴，

∴，

∴為等腰三角形；

存在．點(diǎn)的位置分兩種情形．

情形一：點(diǎn)在射線上，

當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，如圖，

∵，，

∴當(dāng)時(shí)，，

而，

∴，

此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為；

當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，如圖，有，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則有，

在中，，

∵，∴，

∵，

∴，

∴，∴，解得，

∴．

情形二、點(diǎn)在射線上，

當(dāng)時(shí)，如圖，有，

∴四邊形為矩形，∴的橫坐標(biāo)為，

當(dāng)時(shí)，，∴．

當(dāng)時(shí)，如圖，

過作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)．

設(shè)的坐標(biāo)為為，∴，，，

在中，有，即，解得，

當(dāng)時(shí)，如圖，，∴，

當(dāng)時(shí)，如圖，，∴，

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或或，使，，三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與全等．