【題目】如圖1,在等邊三角形ABC中,CD為中線,點(diǎn)Q在線段CD上運(yùn)動(dòng),將線段QA繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)E落在射線BC上,連接BQ,設(shè)∠DAQ=α

(0°<α<60°α≠30°).

(1)當(dāng)0°<α<30°時(shí),

①在圖1中依題意畫出圖形,并求∠BQE(用含α的式子表示);

②探究線段CE,ACCQ之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;

(2)當(dāng)30°<α<60°時(shí),直接寫出線段CE,ACCQ之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)①;CE+AC=;(2)CE-AC=,理由見解析

【解析】(1) ①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的對稱性可得QA=QB,再由QB=QE可得;②延長CA到點(diǎn)F,使得AF=CE,連接QF,作QH⊥AC于點(diǎn)H,

1)當(dāng)α30°時(shí),由∠BQE=60°+2α可得QEC=120°+α,再利用△QAF≌△QEC可得QF=QC,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得ACQ =30°,得到△QCF為等腰三角形,再利用解直角三角形即可得出結(jié)果;(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得線段CE,AC,CQ之間的數(shù)量關(guān)系.

①畫出的圖形如圖9所示.

ABC為等邊三角形,

ABC=60°

CD為等邊三角形的中線,

Q為線段CD上的點(diǎn),

由等邊三角形的對稱性得QA=QB

DAQ=α

ABQ=DAQ=α,∠QBE=60°-α

線段QE為線段QA繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得,

QE = QA

QB=QE

可得

證法一:如圖10,延長CA到點(diǎn)F,使得AF=CE,連接QF,作QHAC于點(diǎn)H

BQE=60°+2α,點(diǎn)EBC上,

QEC=BQE+QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α

點(diǎn)FCA的延長線上,∠DAQ=α,

QAF=BAF+DAQ=120°+α

QAF=QEC

又∵ AF =CE,QA=QE,

QAF≌△QEC

QF=QC

QHAC于點(diǎn)H,

FH=CHCF=2CH

在等邊三角形ABC中,CD為中線,

點(diǎn)QCD上,

ACQ==30°,

QCF為底角為30°的等腰三角形.

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思路二:如圖11,延長CB到點(diǎn)G,使得BG=CE,連接QG,可得

QBG≌△QEC,QCG為底角為30°的等腰三角形,與證法一

同理可得

2)如圖12,當(dāng)30°α60°時(shí),

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【題目】如圖,BM是以AB為直徑的⊙O的切線,B為切點(diǎn),BC平分∠ABM,弦CDAB于點(diǎn)EDEOE

1)求證:ACB是等腰直角三角形;

2)求證:OA2OEDC

3)求tanACD的值.

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【題目】如圖,在中,,中點(diǎn),點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng),以為邊向的右側(cè)作正方形,連接,則在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中,線段的最小值為:( )

A.2B.C.1D.

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【題目】如圖,矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸和y軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為.雙曲線的圖象經(jīng)過BC的中點(diǎn)D,且與AB交于點(diǎn)E,連接DE

1)求k的值及點(diǎn)E的坐標(biāo);

2)若點(diǎn)FOC邊上一點(diǎn),且△FBC∽△DEB,求直線FB的解析式.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,函數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn),ABx軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O對稱, CDx軸于點(diǎn)D,ABD的面積為8.

(1)求mn的值;

(2)若直線k≠0)經(jīng)過點(diǎn)C,且與x軸,y軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)E,F,當(dāng)時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo).

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【題目】RtABC中,∠C=90°AC=8,BC=6,點(diǎn)D、E分別在BCAC上,且BD=CE,設(shè)點(diǎn)C關(guān)于DE的對稱點(diǎn)為F,若DFAB,則BD的長為__________

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【題目】如圖,AB為O的直徑,AC、DC為弦,ACD=60°,P為AB延長線上的點(diǎn),APD=30°.

(1)求證:DP是O的切線;

(2)若O的半徑為3cm,求圖中陰影部分的面積.

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【題目】已知函數(shù)yax22ax1(a是常數(shù),a≠0),下列結(jié)論正確的是( )

A. 當(dāng)a1時(shí),函數(shù)圖象過點(diǎn)(1,1)

B. 當(dāng)a=-2時(shí),函數(shù)圖象與x軸沒有交點(diǎn)

C. a>0,則當(dāng)x≥1時(shí),yx的增大而減小

D. a<0,則當(dāng)x≤1時(shí),yx的增大而增大

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【題目】如圖,四邊形是矩形,點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn),,,的中點(diǎn).

1)求證:

2)若四邊形是正方形,求的值.

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