Question

已知關(guān)于x的兩個一元二次方程：
方程①：(1+

k

2

)x2+(k+2)x-1=0；   
方程②：x²+（2k+1）x-2k-3=0．
（1）若方程①有兩個相等的實數(shù)根，求解方程②；
（2）若方程①和②中只有一個方程有實數(shù)根，請說明此時哪個方程沒有實數(shù)根，并化簡

1- 4k+12 (k+4)2

；
（3）若方程①和②有一個公共根a，求代數(shù)式（a²+4a-2）k+3a²+5a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式的意義得到1+

k

2

≠0且△₁=0，即（k+2）²-4（1+

k

2

）×（-1）=0，求出滿足條件的k的值，然后代入方程②，用公式法解方程即可；
（2）由于△₂=（2k+1）²+4（2k+3）=4k²+12k+13=（2k+3）²+4＞0，則方程①沒有實數(shù)根，得到△₁＜0，即有（k+2）（k+4）＜0，然后條件此條件把二次根式化簡即可；
（3）設a 是方程①和②的公共根，則(1+

k

2

)a2+(k+2)a-1=0  ③，a²+（2k+1）a-2k-3=0④，通過變形得到ka²=2（k-1）a-4k-4⑤，a²=-（2k+1）a+2k+3⑥，
然后把它們代入所求的代數(shù)式即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵方程①有兩個相等實數(shù)根，
∴1+

k

2

≠0且△₁=0，即（k+2）²-4（1+

k

2

）×（-1）=0，則（k+2）（k+4）=0，解此方程得k₁=-2，k₂=-4，
而k+2≠0，
∴k=-4，
當k=-4時，方程②變形為：x²-7x+5=0．
解得  x1=

7+ 29

2

，x2=

7- 29

2

•
（2）∵?△₂=（2k+1）²+4（2k+3）=4k²+12k+13=（2k+3）²+4＞0，
因此無論k為何值時，方程②總有實數(shù)根，
∵方程①、②只有一個方程有實數(shù)根，
∴此時方程①沒有實數(shù)根，
∴△₁＜0，
∴（k+2）（k+4）＜0，
∴

1- 4k+12 (k+4)2

=

(k+4)2-(4k+12) (k+4)2

=

(k+2)2 (k+4)2

=

( k+2 k+4 )2

=|

k+2

k+4

|=-

k+2

k+4

；
（ 3）設a 是方程①和②的公共根，
∴(1+

k

2

)a2+(k+2)a-1=0  ③，
a²+（2k+1）a-2k-3=0④，
由（③-④）×2得：ka²=2（k-1）a-4k-4⑤，
由④得：a²=-（2k+1）a+2k+3⑥，
將⑤、⑥代入原式，得
∴原式=ka²+4ak-2k+3a²+5a
=2（k-1）a-4k-4+4ak-2k-3（2k+1）a+6k+9+5a
=5．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了二次根式的性質(zhì)與化簡以及有公共根兩個一元二次方程的解題方法．