Question

【題目】某商店計劃購進某型號的螺絲、螺母進行銷售，有關信息如下表：

	原進價（元/個）	零售價（元/個）	成套售價（元/套）
螺絲	a	1.0	2.0
螺母	a﹣0.3	0.6	2.0

（1）已知用50元購進螺絲的數量與用20元購進螺母的數量相同，求表中a的值；

（2）若該店購進螺母數量是螺絲數量的3倍還多200個，且兩種配件的總量不超過3000個．

①該店計劃將一半的螺絲配套（一個螺絲和兩個螺母配成一套）銷售，其余螺絲、螺母以零售方式銷售．請問：怎樣進貨，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？（用含a的代數式表示）

②由于原材料價格上漲，每個螺絲和螺母的進價都上漲了0.1元．按照①中的最佳進貨方案，在銷售價不變的情況下，全部售出后，所得利潤比①少了260元，請問本次成套的銷售量為多少？

Answer 1

【答案】（1）a=0.5；（2）①購進螺絲700個,購進螺母2300，利潤為2700－3000a;②成套的銷售量為150套

【解析】分析：（1）根據用50元購進螺絲的數量與用20元購進螺母的數量相同找出等量關系列方程求解，解分式方程要驗根；

（2）①設購進螺絲x個，則購進螺母（3x+200）個，根據兩種配件的總量不超過3000個列不等式求出x的取值范圍；然后根據總利潤=成套賣的利潤+單賣螺絲的利潤+單賣螺母的利潤列出一次函數關系式求解；②設成套的銷售量為m套，則零售的螺絲為（700﹣m）個，零售的螺母為（2300﹣2m）個，結合①中求得最大利潤列方程求解.

詳解：（1）依題意得a=0.5，

經檢驗：a=0.5是原方程的解，且符合題意．

（2）①設購進螺絲x個，則購進螺母（3x+200）個，依題意得

x+（3x+200）≤3000，

x≤700，

則成套的賣出時利潤為： x[2﹣a﹣2（a﹣0.3）]元；單個螺絲的利潤為： x（1﹣a）；

單個螺母的利潤為：（3x+200﹣x）[0.6﹣（a﹣0.3）]，

設利潤為y元，則，

=（3.6﹣4a）x+（180﹣200a）.

解法一：

由已知得，

解得a＜0.9.

∵當a＜0.9時，k=3.6﹣4a＞0，

∴函數y=（3.6﹣4a）x+（180﹣200a）中的y隨x增大而增大．

∴當x=700時，y最大=2700﹣3000a.

解法二：

分兩種情況討論：

當3.6﹣4a＞0，即a＜0.9時，函數y=（3.6﹣4a）x+（180﹣200a）中的y隨x增大而增大．

∴當x=700時，y最大=2700﹣3000a，

當3.6﹣4a≤0時，a≥0.9.

∵根據成套銷售價應高于成本價可得：a+2（a﹣0.3）≤2，即a≤，

∴此時不符合題意，舍去.

②設成套的銷售量為m套，則零售的螺絲為（700﹣m）個，零售的螺母為（2300﹣2m）個，依題意得：

m[2﹣a﹣2（a﹣0.3）﹣0.3]+（700﹣m）（1﹣a﹣0.1）+（2300﹣2m）[0.6﹣（a﹣0.3）﹣0.1]=﹣0.2m﹣3000a+2470，

故：﹣0.2m﹣3000a+2470=2700﹣3000a﹣260，

解得：m=150，

故成套的銷售量為150套．