Question

【題目】如圖1，過等邊三角形ABC邊AB上一點(diǎn)D作DE∥BC交邊AC于點(diǎn)E，分別取BC，DE的中點(diǎn)M，N，連接MN．

（1）發(fā)現(xiàn)：在圖1中， =；
（2）應(yīng)用：如圖2，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)求出 的值；

（3）拓展：如圖3，△ABC和△ADE是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，M，N分別是底邊BC，DE的中點(diǎn)，若BD⊥CE，請(qǐng)直接寫出 的值．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）

解：如圖2中，連接AM、AN．

∵△ABC，△ADE都是等邊三角形，BM=MC，DN=NE，

∴AM⊥BC，AN⊥DE，

∴ =sin60°， =sin60°，

∴ = ，

∵∠MAB=∠DAN=30°，

∴∠BAD=∠MAN，

∴△BAD∽△MAN，

∴ = =sin60°=

（3）

解：如圖3中，連接AM、AN，延長(zhǎng)AD交CE于H，交AC于O．

∵AB=AC，AD=AE，BM=CM，DN=NE，

∴AM⊥BC，AN⊥DE，

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠ABC=∠ADE，

∴sin∠ABM=sin∠ADN，

∴ = ，

∵∠BAM= BAC，∠DAN= ∠DAE，

∴∠BAM=∠DAN，

∴∠BAD=∠MAN．

∴△BAD∽△MAN，

∴ = =sin∠ABC，

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE，

∵AB=AC，AD=AE，

∴△BAD≌△CAE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵BD⊥CE，

∴∠BHC=90°，

∴∠ACE+∠COH=90°，∵∠AOB=∠COH，

∴∠ABD+∠AOB=90°，

∴∠BAO=90°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=45°，

∴ =sin45°=

【解析】解：（1）如圖1中，作DH⊥BC于H，連接AM．

∵AB=AC，BM=CM，
∴AM⊥BC，
∵△ADE時(shí)等邊三角形，
∴∠ADE=60°=∠B，
∴DE∥BC，
∵AM⊥BC，
∴AM⊥DE，
∴AM平分線段DE，
∵DN=NE，
∴A、N、M共線，
∴∠NMH=∠MND=∠DHM=90°，
∴四邊形MNDH時(shí)矩形，
∴MN=DH，
∴ = =sin60°= ，
故答案為 ．
（1）如圖1中，作DH⊥BC于H，連接AM．只要證明四邊形MNDH時(shí)矩形，即可解決問題．（2）如圖2中，連接AM、AN．只要證明△BAD∽△MAN，利用相似比為 即可解決問題．（3）如圖3中，連接AM、AN，延長(zhǎng)AD交CE于H，交AC于O．由△BAD∽△MAN，推出 = =sin∠ABC，只要證明△ABC時(shí)等腰直角三角形即可解決問題．