Question

【題目】已知拋物線y＝ax2﹣2ax+3與x軸交于點(diǎn)A、B（A左B右），且AB＝4，與y軸交于C點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，證明：對(duì)于任意給定的一點(diǎn)P（0，b）（b＞3），存在過(guò)點(diǎn)P的一條直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，使得PM＝MN成立；

（3）將該拋物線在0≤x≤4間的部分記為圖象G，將圖象G在直線y＝t上方的部分沿y＝t翻折，其余部分保持不變，得到一個(gè)新的函數(shù)的圖象，記這個(gè)函數(shù)的最大值為m，最小值為n，若m﹣n≤6，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）詳見(jiàn)解析；（3）﹣2≤t≤1．

【解析】

（1）拋物線y＝ax2﹣2ax+3的對(duì)稱軸為x＝1，又AB＝4，由對(duì)稱性得A（﹣1，0）、B（3，0），即可求解；

（2）證明△PMG≌△NMH（AAS），yG+yH＝2yM，即可求解；

（3）分當(dāng)D′在點(diǎn)H（4，-5）上方、點(diǎn)D′在點(diǎn)H（4，-5）下方兩種情況，分別求解即可．

解：（1）拋物線y＝ax2﹣2ax+3的對(duì)稱軸為x＝1，又AB＝4，由對(duì)稱性得A（-1，0）、B（3，0）．

把A（-1，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，得a+2a+3＝0，∴a＝-1．

∴拋物線的解析式為y＝-x2+2x+3．

（2）如圖，過(guò)M作GH⊥x軸，PG∥x軸，NH∥x軸，

由PM＝MN，則△PMG≌△NMH（AAS），

∴PG＝NH，MG＝MH．

設(shè)M（m，-m2+2m+3），則N（2m，-4m2+4m+3），

∵P（0，b），GM＝MH，

∴yG+yH＝2yM，

即b+（-4m2+4m+3）＝2（-m2+2m+3），∴2m2＝b-3，

∵b＞3，

∴關(guān)于m的方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

此即說(shuō)明了點(diǎn)M、N存在，并使得PM＝MN．證畢；

（3）圖象翻折前后如右圖所示，其頂點(diǎn)分別為D（1，4）、D′（1，2t﹣4）．

①當(dāng)D′在點(diǎn)H（4，-5）上方時(shí)，

2t﹣4≥-5，∴t≥-，

此時(shí)，m＝t，n＝-5，∵m-n≤6，∴t+5≤6，∴t≤1，

∴-≤t≤1；

②當(dāng)點(diǎn)D′在點(diǎn)H（4，-5）下方時(shí)，

同理可得：t＜-，m＝t，n＝2t-4，

由m-n≤6，得t-（2t-4）≤6，

∴t≥-2，∴-2≤t＜-．

綜上所述，t的取值范圍為：﹣2≤t≤1．