(1)若方程x2+2px-q=0(p,q是實(shí)數(shù))沒有實(shí)數(shù)根,求證:p+q<
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;
(2)試寫出上述命題的逆命題;
(3)判斷(2)中的逆命題是否正確.若正確請加以證明,若不正確,請舉一反例說明.
分析:(1)方程x2+2px-q=0(p,q是實(shí)數(shù))沒有實(shí)數(shù)根,把它理解為y=x2+2px-q的函數(shù)值恒大于0,則當(dāng)x=-
1
2
時(shí),y=x2+2px-q>0,即
1
4
-p-q>0,即可證明;
(2)交換題設(shè)與結(jié)論,寫出逆命題;
(3)通過設(shè)p=q=0,說明(2)中的逆命題不正確.
解答:(1)證明:∵方程x2+2px-q=0(p,q是實(shí)數(shù))沒有實(shí)數(shù)根,
∴y=x2+2px-q的函數(shù)值恒大于0,
所以當(dāng)x=-
1
2
時(shí),y=x2+2px-q>0,即
1
4
-p-q>0,
所以p+q<
1
4

(2)(1)的逆命題為:若p+q<
1
4
(p,q是實(shí)數(shù)),求證:方程x2+2px-q=0沒有實(shí)數(shù)根.
(3)(2)中的逆命題不正確.
如:當(dāng)p=q=0,滿足p+q<
1
4
,但原方程為x2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,所以(2)中的逆命題不正確.
點(diǎn)評:本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c為常數(shù))與二次函數(shù)的關(guān)系,也考查了逆命題與原命題的關(guān)系和通過舉反例說明問題的方法.
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)2=
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-
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