Question

方程x²+2ax+a-4=0恒有相異兩實(shí)根，若方程x²+2ax+k=0也有相異兩實(shí)根，且其兩根介于上面方程的兩根之間，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由方程x²+2ax+a-4=0恒有相異兩實(shí)根，則△＞0，而△=4a²-4（a-4）=4（a²-a+4）=4[（a-

1

2

）²+

15

4

]，得a為任意實(shí)數(shù)，由方程x²+2ax+k=0也有相異兩實(shí)根，△′=4a²-4k＞0，即k＜a²；并且它的兩根介于上面方程的兩根之間，可利用二次函數(shù)的圖象繼續(xù)求k的范圍．

解答：解：∵方程x²+2ax+a-4=0恒有相異兩實(shí)根，
∴△＞0，而△=4a²-4（a-4）=4（a²-a+4）=4[（a-

1

2

）²+

15

4

]，
又∵方程x²+2ax+k=0有相異兩實(shí)根，
∴△′=4a²-4k＞0，即k＜a²；
對(duì)于二次函數(shù)y₁=x²+2ax+a-4，y₂=x²+2ax+k，它們的對(duì)稱軸相同，且與x軸都有兩個(gè)不同得交點(diǎn)，要讓y₂與x軸兩個(gè)交點(diǎn)都在y₁與x軸兩個(gè)交點(diǎn)之間，則要滿足y₂與y軸的交點(diǎn)在y₁與y軸的交點(diǎn)上方，如圖，

則有k＞a-4，
所以k的取值范圍是 a-4＜k＜a²．
故答案為a-4＜k＜a²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b²-4ac．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．同時(shí)考查了運(yùn)用二次函數(shù)圖象解決不等式的問(wèn)題．