【題目】如圖,拋物線y= x2+ x﹣ (k>0)與x軸交于點A、B,點A在點B的右邊,與y軸交于點C
(1)如圖1,若∠ACB=90°
①求k的值;
②點P為x軸上方拋物線上一點,且點P到直線BC的距離為 ,則點P的坐標(biāo)為(請直接寫出結(jié)果)
(2)如圖2,當(dāng)k=2時,過原點O的任一直線y=mx(m≠0)交拋物線于點E、F(點E在點F的左邊)
①若OF=2OE,求直線y=mx的解析式;
②求 + 的值.
【答案】
(1)k=8;(﹣4﹣ , )
(2)
解:①過點E、F分別作x軸的垂線,垂直分別為M,N.
把k=2代入得:y= x2﹣1.
由 x2﹣1=mx,得到xE+xF=4m,xExF=﹣4.
∵OF=2OE,
∴xF=﹣2xE,且xE<0,
∴﹣2xExE=﹣4,解得:xE=﹣ .
∴﹣ +2 =4m,解得:m= .
∴直線的解析式為y= x.
②設(shè)∠FON=α,則 + =cosα( + ).
∵直線EF的解析式為y=mx,
∴tanα=m,
∴cosα= .
∴ + = = = = .
∴ + =cosα( + )= =1.
【解析】(1)①∵y= [x2+(k﹣2)x﹣2k]= (x﹣2)(x+k),
∴點A的坐標(biāo)為(2,0),點B的坐標(biāo)為(﹣k,0).
∵將x=0代入拋物線的解析式為y=﹣ .
∴點C的坐標(biāo)為(0,﹣ ).
∵∠BCO+∠ACO=90°,∠OBC+∠BCO=90°,
∴∠OBC=∠OCA.
又∵∠BOC=∠AOC,
∴△OBC∽△OCA.
∴ = .
∴OC2=AOOB.
∴ k2=2k,解得:
k=8或者k=0(舍)
②將k=8代入拋物線的解析式得:y= x2+ x﹣4.
當(dāng)x=0時,y=﹣4,
∴C(0,﹣4).
令y=0得: x2+ x﹣4=0,解得x=﹣8或x=2.
∴A(2,0)B(﹣8,0).
∴AC= =2 .
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,將點B和點C的坐標(biāo)代入得: ,
解得: ,
∴直線BC的解析式為y= x﹣4.
設(shè)M為AC的中點,則M(1,﹣2),如圖1所示:過點M作PM∥BC,交拋物線與點P.
設(shè)直線PM的解析式為y=﹣ x+c,將點M的坐標(biāo)代入得:﹣ +c=﹣2,解得:c=﹣ .
∴直線PM的解析式為y=﹣ x﹣ .
∴﹣ x﹣ = x2+ x﹣4,解得x=﹣4﹣ 或x=﹣4+ (舍去).
當(dāng)x=﹣4﹣ 時,y= .
∴點P的坐標(biāo)為(﹣4﹣ , ).
所以答案是:(﹣4﹣ , ).
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解根與系數(shù)的關(guān)系的相關(guān)知識,掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系數(shù)a、b、c而定;兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù);兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商,以及對確定一次函數(shù)的表達(dá)式的理解,了解確定一個一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法.
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【題目】如圖,將Rt△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到Rt△ADE,點B的對應(yīng)點D恰好落在BC邊上,若DE=2,∠B=60°,則CD的長為( )
A.0.5
B.1.5
C.
D.1
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【題目】計算:(1) (2)
(3) (4)(3x+y)(-y+3x)
(5)2a(a-2a3)-(-3a2)2; (6)(x-3)(x+2)-(x+1)2
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【題目】某商店購買60件A商品和30件B商品共用了1080元,購買50件A商品和20件B商品共用了880元
(1)A商品的單價是元,B商品的單價是元
(2)已知該商店購買B商品的件數(shù)比購買A商品的件數(shù)的2倍少4件,設(shè)購買A商品的件數(shù)為x件,該商店購買的A、B兩種商品的總費用為y元 ①求y與x的函數(shù)關(guān)系式
②如果需要購買A、B兩種商品的總件數(shù)不少于32件,且該商店購買的A、B兩種商品的總費用不超過296元,求購買B商品最多有多少件?
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【題目】在直線 l 上依次擺放著七個正方形(如圖所示),已知斜放置的三個正方形的面積分別 為 a,b,c,正放置的四個正方形的面積依次為 S1,S2,S3,S4,則 S1+S2+S3+S4=( )
A. a+b B. b+c C. a+c D. a+b+c
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【題目】如圖,已知點D為等腰直角△ABC內(nèi)一點,∠CAD=∠CBD=15°,E為AD延長線上的一點,且CE=CA.
(1)求證:DE平分∠BDC;
(2)若點M在DE上,且DC=DM,求證:ME=BD.
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【題目】正方形A1B1C1O,A2B2C2C1 , A3B3C3C2 , …按如圖的方式放置.點A1 , A2 , A3 , …和點C1 , C2 , C3 , …分別在直線y=x+1和x軸上,則點B6的坐標(biāo)是 .
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【題目】如圖,矩形紙片ABCD中,AB=4,BC=6.將該矩形紙片剪去3個等腰直角三角形,所有剪法中剩余部分面積的最小值是( 。
A.6
B.3
C.2.5
D.2
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