【題目】已知拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn),兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,.
(1)求拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)過(guò)點(diǎn)A作,垂足為M,求證:四邊形ADBM為正方形;
(3)點(diǎn)P為拋物線(xiàn)在直線(xiàn)BC下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(4)若點(diǎn)Q為線(xiàn)段OC上的一動(dòng)點(diǎn),問(wèn):是否存在最小值?若存在,求岀這個(gè)最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為:,頂點(diǎn);(2)證明見(jiàn)解析;(3)點(diǎn);(4)存在,的最小值為.
【解析】
(1)設(shè)交點(diǎn)式,利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可;
(2)先證明四邊形ADBM為菱形,再根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形即可得證;
(3)先求出直線(xiàn)BC的解析式,過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線(xiàn)交BC于點(diǎn)N,設(shè)點(diǎn),則點(diǎn)N,根據(jù)可得關(guān)于x的二次函數(shù),繼而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可;
(4)存在,如圖,過(guò)點(diǎn)C作與y軸夾角為的直線(xiàn)CF交x軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)A作,垂足為H,交y軸于點(diǎn)Q, 此時(shí),則最小值,求出直線(xiàn)HC、AH的解析式即可求得H點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)行求得AH的長(zhǎng)即可得答案.
(1)函數(shù)的表達(dá)式為:,
即:,解得:,
故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為:,
則頂點(diǎn);
(2),,
∵A(1,0),B(3,0),∴ OB=3,OA=1,
∴AB=2,
∴,
又∵D(2,-1),
∴AD=BD=,
∴AM=MB=AD=BD,
∴四邊形ADBM為菱形,
又∵,
菱形ADBM為正方形;
(3)設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=mx+n,
將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得:,
解得:,
所以直線(xiàn)BC的表達(dá)式為:y=-x+3,
過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線(xiàn)交BC于點(diǎn)N,
設(shè)點(diǎn),則點(diǎn)N,
則,
,故有最大值,此時(shí),
故點(diǎn);
(4)存在,理由:
如圖,過(guò)點(diǎn)C作與y軸夾角為的直線(xiàn)CF交x軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)A作,垂足為H,交y軸于點(diǎn)Q,
此時(shí),
則最小值,
在Rt△COF中,∠COF=90°,∠FOC=30°,OC=3,tan∠FCO=,
∴OF=,
∴F(-,0),
利用待定系數(shù)法可求得直線(xiàn)HC的表達(dá)式為:…①,
∵∠COF=90°,∠FOC=30°,
∴∠CFO=90°-30°=60°,
∵∠AHF=90°,
∴∠FAH=90°-60°=30°,
∴OQ=AOtan∠FAQ=,
∴Q(0,),
利用待定系數(shù)法可求得直線(xiàn)AH的表達(dá)式為:…②,
聯(lián)立①②并解得:,
故點(diǎn),而點(diǎn),
則,
即的最小值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).四邊形的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上,點(diǎn)是邊與網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn).請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)母顸c(diǎn),用無(wú)刻度的直尺在網(wǎng)格中完成下列畫(huà)圖,保留連線(xiàn)的痕跡,不要求說(shuō)明理由
(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)畫(huà)線(xiàn)段,使,且
(2)如圖1,在邊上畫(huà)一點(diǎn),使
(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)畫(huà)線(xiàn)段,使,且
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,如圖,拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為,經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)和的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn).
(1)求拋物線(xiàn)的解析式和直線(xiàn)的解析式.
(2)在拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)之間的部分(不包含兩點(diǎn)),是否存在點(diǎn),使得?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)若點(diǎn)在拋物線(xiàn)上,點(diǎn)在軸上,當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),直接寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,E,F分別是正方形ABCD的邊CB,DC延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn),且BE=CF,過(guò)點(diǎn)E作FG∥BF,交正方形外角的平分線(xiàn)CG于點(diǎn)G,連接GF.求證:
(1)AE⊥BF;
(2)四邊形BEGF是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線(xiàn)與軸相交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),與軸交于點(diǎn).
(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為__________,點(diǎn)的坐標(biāo)為__________,線(xiàn)段的長(zhǎng)為__________,拋物線(xiàn)的解析式為__________.
(2)點(diǎn)是線(xiàn)段下方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
①如果在軸上存在點(diǎn),使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.求點(diǎn)的坐標(biāo).
②如圖2,過(guò)點(diǎn)作交線(xiàn)段于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交于點(diǎn),交軸于點(diǎn),記,求關(guān)于的函數(shù)解析式;當(dāng)取和時(shí),試比較的對(duì)應(yīng)函數(shù)值和的大小.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組對(duì)經(jīng)過(guò)某路段的小型汽車(chē)每車(chē)乘坐人數(shù)(含駕駛員)進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查,根據(jù)每車(chē)乘坐人數(shù)分為5類(lèi),每車(chē)乘坐1人、2人、3人、4人、5人分別記為A、B、C、D、E,由調(diào)查所得數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.
類(lèi)別 | 頻率 |
A | m |
B | 0.35 |
C | 0.20 |
D | n |
E | 0.05 |
(1)求本次調(diào)查的小型汽車(chē)數(shù)量及m,n的值;
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若某時(shí)段通過(guò)該路段的小型汽車(chē)數(shù)量為5000輛,請(qǐng)你估計(jì)其中每車(chē)只乘坐1人的小型汽車(chē)數(shù)量.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點(diǎn)A(3,2),與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B,且OB=4.
(1)求函數(shù)和y=kx+b的解析式;
(2)結(jié)合圖象直接寫(xiě)出不等式組0<<kx+b的解集.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖1,在平行四邊形ABCD中,∠A=30°,AB=6,AD=8,將平行四邊形ABCD分割成兩部分,然后拼成一個(gè)矩形,請(qǐng)畫(huà)出拼成的矩形,并說(shuō)明矩形的長(zhǎng)和寬.(保留分割線(xiàn)的痕跡)
(2)若將一邊長(zhǎng)為1的正方形按如圖2﹣1所示剪開(kāi),恰好能拼成如圖2﹣2所示的矩形,則m的值是多少?
(3)四邊形ABCD是一個(gè)長(zhǎng)為7,寬為5的矩形(面積為35),若把它按如圖3﹣1所示的方式剪開(kāi),分成四部分,重新拼成如圖3﹣2所示的圖形,得到一個(gè)長(zhǎng)為9,寬為4的矩形(面積為36).問(wèn):重新拼成的圖形的面積為什么會(huì)增加?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】網(wǎng)上學(xué)習(xí)越來(lái)越受到學(xué)生的喜愛(ài).某校信息小組為了解七年級(jí)學(xué)生網(wǎng)上學(xué)習(xí)的情況,從該校七年級(jí)隨機(jī)抽取20名學(xué)生,進(jìn)行了每周網(wǎng)上學(xué)習(xí)的調(diào)查.?dāng)?shù)據(jù)如下(單位:時(shí)):
3 | 2.5 | 0.6 | 1.5 | 1 | 2 | 2 | 3.3 | 2.5 | 1.8 |
2.5 | 2.2 | 3.5 | 4 | 1.5 | 2.5 | 3.1 | 2.8 | 3.3 | 2.4 |
整理上面的數(shù)據(jù),得到表格如下:
網(wǎng)上學(xué)習(xí)時(shí)間(時(shí)) | ||||
人數(shù) | 2 | 5 | 8 | 5 |
樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示:
統(tǒng)計(jì)量 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
數(shù)值 | 2.4 |
根據(jù)以上信息,解答下列問(wèn)題:
(1)上表中的中位數(shù)的值為 ,眾數(shù)的值為 .
(2)用樣本中的平均數(shù)估計(jì)該校七年級(jí)學(xué)生平均每人一學(xué)期(按18周計(jì)算)網(wǎng)上學(xué)習(xí)的時(shí)間.
(3)已知該校七年級(jí)學(xué)生有200名,估計(jì)每周網(wǎng)上學(xué)習(xí)時(shí)間超過(guò)2小時(shí)的學(xué)生人數(shù).
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