Question

【題目】已知四邊形中，，分別是、邊上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)．

（1）如圖1，若四邊形是正方形，且，求證：；

（2）如圖2，若四邊形是菱形，試探究當(dāng)與滿足什么關(guān)系，使得；

（3）如圖3，，，，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析．（2）滿足＋時(shí)，，理由見解析．

（3），理由見解析．

【解析】

（1）由四邊形ABCD為正方形，利用正方形的性質(zhì)得到一對(duì)角為直角，相等，且AD=DC，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，利用AAS得到三角形ADP與三角形DCQ全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；（2）滿足＋時(shí)，，在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M，使CM=CQ，利用平行線的性質(zhì)，以及同角（或等角）的補(bǔ)角相等得到三角形ADP與三角形DCM相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得證．（3）由（2）問的啟示，構(gòu)建出相同情境下的圖形，把轉(zhuǎn)化到（2）中角的已知條件上，利用同位置的相似三角形可得結(jié)論．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠A=∠ADC=90°，AD=DC，

∴∠ADP+∠APD=90°， ∵DP⊥CQ， ∴∠ADP+∠CQD=90°， ∴∠APD=∠CQD，

∴△ADP≌△DCQ， ∴DP=CQ；

（2）滿足＋時(shí)，．

理由如下：如圖，延長(zhǎng)AD至M，使CM=CQ，則，

∵AB∥CD， ∴∠A=∠CDM，

，

∵AD∥BC， ∴∠B+∠A=180°，∴∠QGP+∠A=180°，

∴∠APD=∠CQM=∠CMQ，

∴△ADP∽△DCM，

∴ ，

．

（3），理由如下：

如圖，AC與BD相交于G，延長(zhǎng)DA至N，使BC=DN，又，

所以四邊形BNDC為平行四邊形，所以

因?yàn)?/span>，，所以，

因?yàn)?/span>，所以．

延長(zhǎng)AD至M，使CM=CA，

結(jié)合（2）得：，

所以：，因?yàn)?/span>，

所以，所以．