Question

【題目】綜合與實踐

問題情境：在綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“兩個大小不等的等腰直角三角板的直角頂點重合，并讓一個三角板固定，另一個繞直角頂點旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動，如圖1，三角板和三角板都是等腰直角三角形，，點，分別在邊，上，連接，點，，分別為，，的中點．試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．

探究展示：勤奮小組發(fā)現(xiàn)，，．并展示了如下的證明方法：

∵點，分別是，的中點，∴，．

∵點，分別是，的中點，∴，．（依據(jù)1）

∵，，∴，∴．

∵，∴．

∵，∴．

∵，∴．（依據(jù)2）

∴．∴．

反思交流：

（1）①上述證明過程中的“依據(jù)1”，“依據(jù)2”分別是指什么？

②試判斷圖1中，與的位置關(guān)系，請直接回答，不必證明；

（2）創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā)，繼續(xù)進(jìn)行探究，把繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，發(fā)現(xiàn)是等腰直角三角形，請你給出證明；

（3）縝密小組的同學(xué)繼續(xù)探究，把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)，時，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）①依據(jù)1：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半．

依據(jù)2：直角三角形的兩個銳角互余．②． （2）見解析 （3）

【解析】

（1）①根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，即可得到答案；

②由，得∠ANP=45°，結(jié)合∠PNM=45°，即可得到結(jié)論；

（2）連接，先證，得，，從而得是等腰三角形．通過三角形外角的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得，即可得到結(jié)論；

（3）由是等腰直角三角形，可得，當(dāng)BD最大時，面積最大，進(jìn)而即可得到答案．

（1）①依據(jù)1：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半．

依據(jù)2：直角三角形的兩個銳角互余．

②．理由如下：

由勤奮小組發(fā)現(xiàn)，，，可知：PMN是等腰直角三角形，

∴∠PNM=45°，

∵，

∴∠ANP=∠B=45°，

∴∠ANM=45°+45°=90°，即：；

（2）連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，．

∵，，

∴，

∴，．

∵點，，分別是，，的中點，

∴，分別是，的中位線，

∴，．

∴，

∴是等腰三角形．

又∵，，

∴，，

∵，

∴

．

∵，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形；

（3）由（2）知，是等腰直角三角形，．

∴BD最大時，面積最大，此時，點在的延長線上，即：，

∴PM的最大值為7，

∴的最大值．