Question

【題目】如圖，已知直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA＝AB＝2，OC＝3，過點B作BD⊥BC，交OA于點D．將∠DBC繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于E和F．

（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；

（2）當BE經(jīng)過（1）中拋物線的頂點時，求CF的長；

（3）連結(jié)EF，設(shè)△BEF與△BFC的面積之差為S，問：當CF為何值時S最小，并求出這個最小值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣+x+2；（2）；（3）當a=2（在0＜a＜3范圍內(nèi)）時，S最小值=．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)OA、AB、OC的長，即可得到A、B、C三點的坐標，進而可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（2）此題要通過構(gòu)造全等三角形求解；過B作BM⊥x軸于M，由于∠EBF是由∠DBC旋轉(zhuǎn)而得，所以這兩角都是直角，那么∠EBF=∠ABM=90°，根據(jù)同角的余角相等可得∠EBA=∠FBM；易知BM=OA=AB=2，由此可證得△FBM≌△EBA，則AE=FM；CM的長易求得，關(guān)鍵是FM即AE的長；設(shè)拋物線的頂點為G，由于G點在線段AB的垂直平分線上，若過G作GH⊥AB，則GH是△ABE的中位線，G點的坐標易求得，即可得到GH的長，從而可求出AE的長，即可由CF=CM+FM=AE+CM求出CF的長；

（3）由（2）的全等三角形易證得BE=BF，則△BEF是等腰直角三角形，其面積為BF平方的一半；△BFC中，以CF為底，BM為高即可求出△BFC的面積；可設(shè)CF的長為a，進而表示出FM的長，由勾股定理即可求得BF的平方，根據(jù)上面得出的兩個三角形的面積計算方法，即可得到關(guān)于S、a的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最小值及對應的CF的長．

解：（1）由題意可得A（0，2），B（2，2），C（3，0），

設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

則，

解得；

∴拋物線的解析式為y=﹣+x+2；

（2）設(shè)拋物線的頂點為G，

則G（1，），過點G作GH⊥AB，垂足為H，

則AH=BH=1，GH=﹣2=；

∵EA⊥AB，GH⊥AB，

∴EA∥GH；

∴GH是△BEA的中位線，

∴EA=2GH=；

過點B作BM⊥OC，垂足為M，則BM=OA=AB；

∵∠EBF=∠ABM=90°，

∴∠EBA=∠FBM=90°﹣∠ABF，

∴Rt△EBA≌Rt△FBM，

∴FM=EA=；

∵CM=OC﹣OM=3﹣2=1，

∴CF=FM+CM=；

（3）設(shè)CF=a，則FM=a﹣1，

∴BF2=FM2+BM2=（a﹣1）2+22=a2﹣2a+5，

∵△EBA≌△FBM，

∴BE=BF，

則S△BEF=BEBF=（a2﹣2a+5），

又∵S△BFC=FCBM=×a×2=a，

∴S=（a2﹣2a+5）﹣a=a2﹣2a+，

即S=（a﹣2）2+；

∴當a=2（在0＜a＜3范圍內(nèi)）時，S最小值=．