Question

【題目】設(shè)平面內(nèi)一點(diǎn)到等邊三角形中心的距離為d，等邊三角形的內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R．對于一個點(diǎn)與等邊三角形，給出如下定義：滿足r≤d≤R的點(diǎn)叫做等邊三角形的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)． 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等邊△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，2），B（﹣ ，﹣1），C（ ，﹣1）．

（1）已知點(diǎn)D（2，2），E（ ，1），F(xiàn)（﹣ ，﹣1）．在D，E，F(xiàn)中，是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)的是；
（2）如圖1，過點(diǎn)A作直線交x軸正半軸于M，使∠AMO=30°． ①若線段AM上存在等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)P（m，n），求m的取值范圍；
②將直線AM向下平移得到直線y=kx+b，當(dāng)b滿足什么條件時，直線y=kx+b上總存在等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)；（直接寫出答案，不需過程）
（3）如圖2，點(diǎn)Q為直線y=﹣1上一動點(diǎn)，⊙Q的半徑為 ．當(dāng)Q從點(diǎn)（﹣4，﹣1）出發(fā)，以每秒1個單位的速度向右移動，運(yùn)動時間為t秒．是否存在某一時刻t，使得⊙Q上所有點(diǎn)都是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)？如果存在，請直接寫出所有符合題意的t的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）E、F
（2）①解：如圖1中，由題意A（0，2），M（ ，0）．

可求得直線AM的解析式為 ．

經(jīng)驗證E在直線AM上．

因為OE=OA=2，∠MAO=60°，

所以△OAE為等邊三角形，

所以AE邊上的高長為 ．

當(dāng)點(diǎn)P在AE上時， ≤OP≤2．

所以當(dāng)點(diǎn)P在AE上時，點(diǎn)P都是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)．

所以0≤m≤ ；

②如圖1﹣1中，設(shè)平移后的直線交y軸于G，作這條直線的垂線垂足為H．

當(dāng)OH=2時，在Rt△OHG中，∵OH=2，∠HOG=30°，

∴cos30°= ，

∴OG= ，

∴滿足條件的b的值為﹣ ≤b≤2；

（3）存在．理由：如圖2中，設(shè)Q（m，﹣1）．

由題意當(dāng)OQ= 時，⊙Q上所有點(diǎn)都是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)，

= ，

解得m= ，

∴t=

【解析】解：（1）由題意R=2，r=1，點(diǎn)O是△ABC的中心， ∵OD=2 ，OE=2，OF= ，
∴點(diǎn)E、F是△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)
故答案為E，F(xiàn)；
（1）根據(jù)中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求出R、r、d即可判斷；（2）①由題意可知，點(diǎn)E在直線AM上，當(dāng)點(diǎn)P在AE上時，點(diǎn)P都是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)；②如圖1﹣1中，設(shè)平移后的直線交y軸于G，作這條直線的垂線垂足為H．當(dāng)OH=2時，求出OG即可判斷；（3）存在．理由：如圖2中，設(shè)Q（m，﹣1）．由題意當(dāng)OQ= 時，⊙Q上所有點(diǎn)都是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)，理由兩點(diǎn)間距離公式即可求解．