【題目】已知拋物線m0)的頂點為M,交y軸于點G

1)如圖,若點G坐標(biāo)為(0)

①直接寫出拋物線解析式;

②點Qy軸上,將線段QM繞點Q逆時針旋轉(zhuǎn)90°得線段QN,若點N恰好落在拋物線上,求點Q的坐標(biāo).

2 探究: 將拋物線沿唯一的定直線x=a對稱得拋物線,記拋物線y軸于點P (0,-2m),求a的值.

【答案】1)①;②Q1(0),Q2(0,-);(21

【解析】

1)①將點G的坐標(biāo)代入到二次函數(shù)解析式中即可求出結(jié)論;

②設(shè)點Q0,t),過點NNAy軸于點A,過點MNBy軸于點B,利用AAS證出△ANQ≌△BQM,求出二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)即可求出點N的坐標(biāo),然后將點N的坐標(biāo)代入解析式中即可求出t的值,從而求出點Q的坐標(biāo);

2)將二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為頂點式即可求出點M的坐標(biāo),然后求出拋物線的頂點坐標(biāo),將點P的坐標(biāo)代入得出關(guān)于a的一元二次方程,利用a有唯一值令△=0即可求出m的值,從而求出a的值.

解:(1)①將點G(0)代入解析式中,得

解得:m=1-1(不符合條件,舍去)

m=1代入解析式中,得

②設(shè)點Q0,t),過點NNAy軸于點A,過點MNBy軸于點B,

∴∠NAQ=MBQ=90°,

QM=QN,∠MQN=90°

∠ANQ+∠AQN=90°,∠BQM+∠AQN=90°

∠ANQ=∠BQM

∴△ANQ≌△BQM,

AN=BQ,AQ=BM,

由點MM1,),即B0,),

BM=AQ=1,BQ=AN=t+,

A0t+1),即Nt+t+1),

則有(t+22t+)-=t+1,

解得t1=t2=,

Q1=0),Q20,-

2)解:可化為

,

∴頂點M,

又∵拋物線與拋物線關(guān)于直線x=a對稱,由對稱性知:

拋物線的頂點坐標(biāo)為,

∴拋物線的解析式為:,

又∵拋物線y軸于點 P (0,-2m),

則有

而直線x=a唯一,

,

解得,

所以有,

解得,

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