Question

（11分）如圖1，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)0和x軸上另一個(gè)點(diǎn)E,頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，4）; 矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)0重合，AD、AB分別在x軸和y軸上，且AD=2 ，AB=3.

（1）求該拋物線所參應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動(dòng)，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N（如圖2）.

①當(dāng)t=時(shí)，判斷點(diǎn)P時(shí)否在直線ME上，并說明理由；

 

②設(shè)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的圖形面積為S，試部S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

【答案】

解:(1)所求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4),故可設(shè)其函數(shù)表達(dá)式為y=a(x-2)²+4…1分

又拋物線過點(diǎn)(0,0),得0=a(0-2)²+4,解得:a= -1

所以,該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為: y=-(x-2)²+4即y=-x²+4x.            ………………3分

(2)①點(diǎn)P不在直線ME上.                                        ………………4分

由拋物線的對(duì)稱性可知:點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,0).

又點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,4),設(shè)直線ME的表達(dá)式為y=kx+b,則有

,所以直線ME的表達(dá)式為y=-2x+8.         ………………6分

 

由已知條件可知,當(dāng)t=時(shí),OA=AP=∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,).

 

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)不滿足直線ME的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-2x+8,

∴點(diǎn)P不在直線ME上.                                          ………………7分

②S存在最大值,理由如下:                                            ………8分

由題意可知: OA=AP=t,又∵點(diǎn)A在x軸的非負(fù)半軸上,點(diǎn)N在拋物線y=-x²+4x上,

∴點(diǎn)P與點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為(t,t)、(t,-t²+4t), ∴AN=-t²+4t(0≤t≤3),

∴PN=AN-AP=-t²+4t-t=-t²+3t.

(i)當(dāng)PN=0即t=0或t=3時(shí),以點(diǎn)P、N、C、D為頂點(diǎn)的圖形是三角形,此三角形的高是AD,底邊為CD, ∴S=.                     ………………9分

 

(ii)當(dāng)PN≠0時(shí), 以點(diǎn)P、N、C、D為頂點(diǎn)的圖形是四邊形.

 

∴.

 

所以當(dāng)t=時(shí),S_最大值=.

 

所以,當(dāng)t=時(shí),以點(diǎn)P、N、C、D為頂點(diǎn)的圖形面積有最大值,其最大值為.………11分

 

【解析】略