Question

3．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=8，點D在斜邊AB上，分別作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為點E，F(xiàn)，得四邊形DECF，設DE=x，DF=y．
（1）求y關于x的函數(shù)關系式，并求出x的取值范圍；
（2）設四邊形DECF的面積為S，求S關于x的函數(shù)關系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)可求AB，BC，根據(jù)余角的性質即可推出∠A=∠BDF，繼而求證△ADE∽△DBF，結合對應邊成比例和BF=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-x，AE=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$-y，即可求出y=-2x+$\frac{16\sqrt{3}}{3}$（0＜x＜$\frac{8\sqrt{3}}{3}$）；
（2）根據(jù)（1）所推出的結論，結合矩形的面積公式通過等量代換，即可求出二次函數(shù)S=DE•DF=-2x²+$\frac{16\sqrt{3}}{3}$x，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值公式即可求出S的最大值．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=8，
∴AB=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，BC=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∵∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠A+∠B=90°，∠BDF+∠ADE=90°，
∴∠A=∠BDF，
∴△ADE∽△DBF，
∴$\frac{AE}{DF}$=$\frac{DE}{BF}$，
∵四邊形DECF是矩形，DF=y，DE=x，
∴CF=x，CE=y，
∴BF=BC-CF=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-x，
∵AE=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$-y，
∴$\frac{\frac{16\sqrt{3}}{3}-y}{y}$=$\frac{x}{\frac{8\sqrt{3}}{3}-x}$，
∴y=-2x+$\frac{16\sqrt{3}}{3}$（0＜x＜$\frac{8\sqrt{3}}{3}$），

（2）∵y=-2x+$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，DE=x，DF=y，
∴S=DE•DF=xy=x（-2x+$\frac{16\sqrt{3}}{3}$）=-2x²+$\frac{16\sqrt{3}}{3}$x=-2（x²-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{16}{3}$）+$\frac{32}{3}$，
即S=-2（x-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²+$\frac{32}{3}$，
∴S的最大值是$\frac{32}{3}$．

點評 本題主要考查相似三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，矩形的面積，二次函數(shù)的最值等知識點，角的三角函數(shù)，關鍵在于求證△ADE∽△DBF，用關于x、y的式子表達出相關的線段，認真地進行計算．