【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別交線段BC,AC于點(diǎn)D,E,過點(diǎn)D作DF⊥AC,垂足為F,線段FD,AB的延長線相交于點(diǎn)G.

(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)若CF=1,DF= ,求圖中陰影部分的面積.

【答案】
(1)證明:連接AD、OD,如圖所示.

∵AB為直徑,

∴∠ADB=90°,

∴AD⊥BC,

∵AC=AB,

∴點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn).

∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn),

∴OD為△BAC的中位線,

∴OD∥AC,

∵DF⊥AC,

∴OD⊥DF,

∴DF是⊙O的切線


(2)解:在Rt△CFD中,CF=1,DF=

∴tan∠C= = ,CD=2,

∴∠C=60°,

∵AC=AB,

∴△ABC為等邊三角形,

∴AB=4.

∵OD∥AC,

∴∠DOG=∠BAC=60°,

∴DG=ODtan∠DOG=2 ,

∴S陰影=SODG﹣S扇形OBD= DGOD﹣ πOB2=2 π.


【解析】(1)連接AD、OD,由AB為直徑可得出點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),由此得出OD為△BAC的中位線,再根據(jù)中位線的性質(zhì)即可得出OD⊥DF,從而證出DF是⊙O的切線;(2)CF=1,DF= ,通過解直角三角形得出CD=2、∠C=60°,從而得出△ABC為等邊三角形,再利用分割圖形求面積法即可得出陰影部分的面積.本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、切線的判定、扇形面積的計(jì)算以及三角形面積的計(jì)算,解題的關(guān)鍵是:(1)證出OD⊥DF;(2)利用分割圖形求面積法求出陰影部分的面積.本題屬于中檔題,難度不大,解決該題型題目時(shí),利用分割圖形求面積法求面積是解題的難點(diǎn),在日常練習(xí)中應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,中,,把繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,點(diǎn).

1)若,求得度數(shù);

2)若,求邊上的高.

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【題目】如圖,已知點(diǎn)E、F在四邊形ABCD的對角線BD所在的直線上,且BE=DF,AECF,請?jiān)偬砑右粋(gè)條件(不要在圖中再增加其它線段和字母),能證明四邊形ABCD是平行四邊形,并證明你的想法.

你所添加的條件:____________________________________;

證明:

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【題目】如圖,矩形ABCD中,ADBCAB4cmBC8cm,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā),按折線DCBAD方向以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā),按折線DABCD方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng).

1)若動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā),經(jīng)過幾秒鐘兩點(diǎn)相遇?

2)若點(diǎn)E在線段BC上,且BE3cm,若動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā),相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng),經(jīng)過幾秒鐘,點(diǎn)A、EM、N組成平行四邊形?

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【題目】已知:如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=24cm,BC=30cm,點(diǎn)P自點(diǎn)AD1cm/s的速度運(yùn)動(dòng),到D點(diǎn)即停止.點(diǎn)Q自點(diǎn)CB2cm/s的速度運(yùn)動(dòng),到B點(diǎn)即停止,直線PQ截梯形為兩個(gè)四邊形.問當(dāng)P,Q同時(shí)出發(fā),幾秒時(shí)其中一個(gè)四邊形為平行四邊形?

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【題目】如圖,拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)B坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,6),點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn),過點(diǎn)D作x軸的垂線,垂足為E,連接BD.

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)∠FBA=∠BDE時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作MN∥x軸與拋物線交于點(diǎn)N,點(diǎn)P在x軸上,點(diǎn)Q在平面內(nèi),以線段MN為對角線作正方形MPNQ,請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

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【題目】數(shù)學(xué)課上,張老師舉了下面的例題:

1 等腰三角形中,,求的度數(shù).(答案:

2 等腰三角形中,,求的度數(shù).(答案:

張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式,小敏編了如下一題:

變式 等腰三角形中,,求的度數(shù).

(1)請你解答以上的變式題.

(2)解(1)后,小敏發(fā)現(xiàn),的度數(shù)不同,得到的度數(shù)的個(gè)數(shù)也可能不同.如果在等腰三角形中,設(shè),當(dāng)有三個(gè)不同的度數(shù)時(shí),請你探索的取值范圍.

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【題目】自學(xué)下面材料后,解答問題.

分母中含有未知數(shù)的不等式叫分式不等式.如:;等.那么如何求出它們的解集呢?根據(jù)我們學(xué)過的有理數(shù)除法法則可知:兩數(shù)相除,同號得正,異號得負(fù).其字母表達(dá)式為:

(1)若>0,>0,則>0;若<0,<0,則>0;

(2)若>0,<0,則<0;若<0,>0,則<0.

反之:(1)若>0,則

(2)若<0,則____________________.

(3)根據(jù)上述規(guī)律,求不等式的解集.

(4)試求不等式的解集.

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【題目】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,小明提出這樣一個(gè)問題:∠B=∠C=90°,E是BC的中點(diǎn),DE平分ADC,如圖.大家一起熱烈地討論交流,小英第一個(gè)得出如下結(jié)論:(1)AE平分∠DAB;(2)△EBA≌△DCE;(3)AB+CD=AD;(4)AE⊥DE;(5)AB∥CD.其中正確的結(jié)論是_____.(將你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上)

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