Question

如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=．點O為線段BC上的動點，連接OD，以O為圓心，OB為半徑的⊙O分別交線段AB、OD于點P、M，交射線BC于點N，連接AC、MN，AC交線段OD于點E．
（1）求梯形對角線AC的長．
（2）如圖2，當點O在線段BC上運動到使⊙O與對角線AC相切時，求⊙O的半徑OB．
（3）如圖3，當點O在線段BC上運動到使⊙O與線段BC的延長線交于點N時，以C為圓心，CN為半徑作⊙C，則⊙C與⊙O相內切，求⊙C的半徑CN的最大值．
（4）在點O在線段BC上運動的過程中，是否存在MN∥AC的情況？若存在，求出⊙O的半徑OB；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖1，
過點A作AH⊥BC于點H．
∵在直角△ABH中，cosB=．
∴=，
∵AB=5．
∴BH=3AH=4．
∵BC=6，
∴CH=3．
∵AH⊥BC，DC⊥BC，
∴AH∥DC．
∵AD∥BC，
∴四邊形AHCD是矩形．
∴AD=CH=3，DC=AH=4．
∴AC=5．

（2）如圖2，連接OG．
∵⊙O與對角線AC相切，
∴OG⊥AC．∴△OCG∽△ACH．
∴=．
設OB=r，則OC=6-r．
∴=．∴r=，即OB=．

（3）如圖3，
當點O在線段BC上運動到使P、A重合時，⊙C的半徑CN最大．
過點O作OF⊥AB于點F．
∵OA=OB，AB=5，
∴BF=．
∵cosB=，
∴=．
∴OB=．
∴ON=．
∵BC=6，
∴OC=6-=．
∴CN=ON-OC=-=．

（4）如圖4，
在點O在線段BC上運動的過程中，不存在MN∥AC的情況．
理由：假設MN∥AC，則=．
∵OM=ON，
∴OC=OE．
∵AD∥OC，
∴=．
∴AD=DE．
∵AD=3，
∴DE=3．
設OB=r，則OC=OE=6-r，OD=OE+ED=6-r+3=9-r．
∵在直角△OCD中，OC²+CD²=OD²．
∴4²+（6-r）²=（9-r）²．
∴r=．
∵△OBP∽△ABC，
∴=．
∴=．
∴BP=r=×=＞AB=5．
∴與點P在AB上矛盾．
∴在點O在線段BC上運動的過程中，不存在MN∥AC的情況．
分析：（1）過點A作AH⊥BC于點H．先由AB及cosB求得BH，再求得AH、HC，則AC的長也可求出．
（2）由△OCG∽△ACH得=，設OB=r，OC=6-r，代入可求得r的值．
（3）當點O在線段BC上運動到使P、A重合時，⊙C的半徑CN最大．過點O作OF⊥AB于點F，先在△OBF中求得OB的長，再由BC求得OC的長，則CN的長即可求出．
（4）在點O在線段BC上運動的過程中，不存在MN∥AC的情況．可假設MN∥AC，用反證法證得矛盾．
點評：本題考查了相似三角形的判定及性質及勾股定理的應用，綜合性強，難度較大，同學們要細心作答．