Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4

2

，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底邊DE與BC重合，兩腰分別落在AB，AC上，且G，F分別是AB，AC的中點．

（1）求等腰梯形DEFG的面積；
（2）操作：固定△ABC，將等腰梯形DEFG以每秒1個單位的速度沿BC方向向右運動，直到點D與點C重合時停止．設運動時間為x秒，運動后的等腰梯形為DEF′G′（如圖2）．
探究1：在運動過程中，四邊形BDG′G能否是菱形？若能，請求出此時x的值；若不能，請說明理由；
探究2：設在運動過程中△ABC與等腰梯形DEFG重疊部分的面積為y，求y與x的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）利用輔助線的幫助過點GM⊥BC于M．推出2GF=BC，G為AB中點可知GM的值．從而求出梯形面積．
（2）①BG∥DG′，GG′∥BC推出四邊形BDG′G是平行四邊形；當BD=BG=

1

2

AB=2時，四邊形BDG′G為菱形．
②本題要分兩種情況解答（0≤x＜2

2

以及2

2

≤x≤4

2

）．

解答：解：如圖，（1）過G點作GM⊥BC于M，

∵AB=AC，∠BAC=90°，BC=4

2

，G為AB中點
∴GM=

2

又∵G，F分別為AB，AC的中點
∴GF=

1

2

BC=2

2

∴S_梯形DEFG=

1

2

（2

2

+4

2

）×

2

=6
∴等腰梯形DEFG的面積為6

（2）①能為菱形．
如圖：

由BG∥DG′，GG′∥BC
∴四邊形BDG′G是平行四邊形
當BD=BG=

1

2

AB=2時，四邊形BDG′G為菱形
此時可求得x=2，
∴當x=2秒時，四邊形BDG′G為菱形
②分兩種情況
1、當0≤x＜2

2

時，
方法一：
∵GM=

2

，
∴S_?BDG′G=

2

x
∴重疊部分的面積為y=6-

2

x
∴當0≤x＜2

2

時，y與x的關系式為y=6-

2

x
方法二：
當0≤x＜2

2

時，
∵FG′=2

2

-x，DC=4

2

-x，GM=

2

∴重疊部分的面積為y=

(2 2 -x)+(4 2 -x)

2

×

2

=6-

2

x
2、當2

2

≤x≤4

2

時，

設FC與DG′交于點P，則∠PDC=∠PCD=45°
∴∠CPD=90°，PC=PD
作PQ⊥DC于Q，則PQ=DQ=QC=

1

2

(4

2

-x)
∴重疊部分的面積為y=

1

2

×

1

2

(4

2

-x)×（4

2

-x）=

1

4

x²-2

2

x+8

點評：此題主要考查勾股定理、三角形中位線、等腰梯形的性質及菱形性質等知識點的綜合運用，要求學生對所學知識能靈活運用．