Question

【題目】已知：在等邊△ABC中， AB=， D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)（如圖1）．若將△BDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△BD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），記射線CE1與AD1的交點(diǎn)為P．

(1)判斷△BDE的形狀；

（2）在圖2中補(bǔ)全圖形，

①猜想在旋轉(zhuǎn)過程中，線段CE1與AD1的數(shù)量關(guān)系并證明；

②求∠APC的度數(shù)；

（3）點(diǎn)P到BC所在直線的距離的最大值為________．（直接填寫結(jié)果）

、

圖2 備用

Answer 1

【答案】（1）等邊三角形;

（2）①見解析;②見解析.

【解析】

（1）由D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)得到，，加上為等邊三角形，則，，所以，于是可判斷為等邊三角形；

（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得為等邊三角形，則，，而，所以∠D1BA=∠E1BC，則可證明△ABD1≌△CBE1，所以CE1=AD1；

②由△ABD1≌△CBE1，可得到∠D1AB=∠E1CB，即可得到∠APC=∠ABC；

（3）由于，則可判斷點(diǎn)P、D1、B、E1共圓，于是可判斷當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到BC所在直線的距離的最大值，此時(shí)點(diǎn)E在AB上，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可得點(diǎn)P到BC所在直線的距離的最大值.

解：

（1）等邊三角形.

（2）補(bǔ)全圖形如右圖.

①CE1=AD1.

∵ △ABC和△BD1E1為等邊三角形，

∴ BC=BA，BE1=BD1，∠ABC=∠D1BE1=60°.

∴ ∠ABC-∠ABE1 =∠D1BE1-∠ABE1.

即∠D1BA=∠E1BC.

∴ △ABD1≌△CBE1.

∴ CE1=AD1.

②∵ △ABD1≌△CBE1，

∴ ∠D1AB=∠E1CB.

又∵∠D1AB+∠APC=∠ABC+∠E1CB，

∴ ∠APC=∠ABC=60°.

（3）2.