Question

【題目】如圖，在△ABC中，⊙O經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，圓心O在BC邊上，且⊙O與BC邊交于點(diǎn)E，在BC上截取CF=AC，連接AF交⊙O 于點(diǎn)D，若點(diǎn)D恰好是的中點(diǎn)．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若BF=17，DF=13，求⊙O的半徑r；

（3）若∠ABC=30°，動(dòng)直線l從與點(diǎn)A、O重合的位置開始繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到與OC重合時(shí)停止，設(shè)直線l與AC的交點(diǎn)為F，點(diǎn)Q為OF的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于G，連接AQ、QG．請(qǐng)問(wèn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠AQG的大小是否變化？若不變，求出∠AQG的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

（2）⊙O的半徑r為12；

（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠AQG的大小不變，理由見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）連接OA、OD，根據(jù)垂徑定理得∠DOE =90°，則∠D+∠OFD=90°，再由AC=FC，OA=OD，加上∠CAF=∠CFA，所以∠OAD+∠CAF=90°，根據(jù)切線的判定定理可得AC是⊙O切線；（2）先表示出OD=r，OF=17﹣r，再在Rt△DOF中利用勾股定理得r2+（17﹣r）2=132，解方程得到r的值；（3）（3）易證點(diǎn)A、O、G、H在以點(diǎn)Q為圓心，QO為半徑的圓上，從而得到∠AQG=2∠AOG．從而得到∠AOC=60°，進(jìn)而得到∠AQG=120°，所以∠AQG是定值．

（1）證明：連接OA、OD，如圖，

∵D為弧BE的中點(diǎn)，

∴∠BOD=∠DOE =90°，

∴∠D+∠OFD=90°，

∵AC=FC，OA=OD，

∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，

而∠CFA=∠OFD，

∴∠OAD+∠CAF=90°，

即∠OAC=90°，

∴OA⊥AC，

∴AC是⊙O切線；

（2）OD=r，OF=17﹣r，

在Rt△DOF中，r2+（17﹣r）2=132，

解得r=5（舍去），r=12；

即⊙O的半徑r為12；

（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠AQG的大小不變．

∵∠OAC=90°．

∴HG⊥BC，

∴∠OGH=90°．

∵點(diǎn)Q是OH的中點(diǎn)，

∴AQ=OQ=HQ=GQ

∴點(diǎn)A、O、G、H在以點(diǎn)Q為圓心，QO為半徑的圓上，

∴∠AQG=2∠AOG．

∵∠ABC=30°,

∴∠AOC=60°．

∴∠AQG=120°．

∴在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠MQG的大小不變，始終等于120°．