【題目】如圖1,平面直角坐標(biāo)系中,等腰直角三角形的直角邊BC在x軸正半軸上滑動(dòng),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(t,0),直角邊AC=4,經(jīng)過(guò)O,C兩點(diǎn)做拋物線y1=ax(x﹣t)(a為常數(shù),a>0),該拋物線與斜邊AB交于點(diǎn)E,直線OA:y2=kx(k為常數(shù),k>0)

(1)填空:用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)A的坐標(biāo)及k的值:A , k=;
(2)隨著三角板的滑動(dòng),當(dāng)a= 時(shí):
①請(qǐng)你驗(yàn)證:拋物線y1=ax(x﹣t)的頂點(diǎn)在函數(shù)y= 的圖象上;
②當(dāng)三角板滑至點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí),求t的值;
(3)直線OA與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D,當(dāng)t≤x≤t+4,|y2﹣y1|的值隨x的增大而減小,當(dāng)x≥t+4時(shí),|y2﹣y1|的值隨x的增大而增大,求a與t的關(guān)系式及t的取值范圍.

【答案】
(1)(t,4);
(k>0)
(2)

解:①當(dāng)a= 時(shí),y1= x(x﹣t),其頂點(diǎn)坐標(biāo)為( ,﹣ ).

對(duì)于y= 來(lái)說(shuō),當(dāng)x= 時(shí),y=- × =﹣ ,即點(diǎn)( ,﹣ )在拋物線y= 上.

故當(dāng)a= 時(shí),拋物線y1=ax(x﹣t)的頂點(diǎn)在函數(shù)y= 的圖象上;

②如圖1,過(guò)點(diǎn)E作EK⊥x軸于點(diǎn)K.

∵AC⊥x軸,

∴AC∥EK.

∵點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn),

∴K為BC的中點(diǎn),

∴EK是△ACB的中位線,

∴EK= AC=2,CK= BC=2,

∴E(t+2,2).

∵點(diǎn)E在拋物線y1= x(x﹣t)上,

(t+2)(t+2﹣t)=2,

解得t=2.


(3)

解:如圖2, ,則 x=ax(x﹣t),

解得x= +t,或x=0(不合題意,舍去).

故點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是 +t.

當(dāng)x= +t時(shí),|y2﹣y1|=0,由題意得t+4= +t,

∴at=1.

∵y2﹣y1= x﹣ax(x﹣t)=﹣ax2+(at+ )x=﹣a[x2﹣(t+ )x+( + 2]+a( + 2

=﹣a[x﹣( + )]2+a( + 2

∴當(dāng)x= + 時(shí),y2﹣y1取得最大值,

又∵當(dāng)x= +t時(shí),|y2﹣y1|=0,

∴當(dāng) + ≤x≤ +t時(shí),|y2﹣y1|隨x的增大而減;當(dāng)x≥ +t時(shí),|y2﹣y1|隨x的增大而增大.

根據(jù)題意需要滿足當(dāng)t≤x≤t+4,|y2﹣y1|的值隨x的增大而減小,當(dāng)x≥t+4時(shí),|y2﹣y1|的值隨x的增大而增大,

∴t≥ + 可滿足條件,

∵at=1,

∴解得t≥4.

綜上所述,a與t的關(guān)系式及t的取值范圍為at=1(t≥4).


【解析】 解:(1)∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(t,0),直角邊AC=4,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(t,4).又∵直線OA:y2=kx(k為常數(shù),k>0),∴4=kt,則k= (k>0).
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x增大而減。粚(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1.

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答: ,若存在,試寫(xiě)出一組勾股數(shù): .

在無(wú)數(shù)組勾股數(shù)中,是否還存在其它的三個(gè)連續(xù)正整數(shù)能組成勾股數(shù)?若存在,求出勾股數(shù),若不存在,說(shuō)明理由.

在無(wú)數(shù)組勾股數(shù)中,是否存在三個(gè)連續(xù)奇數(shù)能組成勾股數(shù)?若存在,求出勾股數(shù),若不存在,說(shuō)明理由.

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2)寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)(直接寫(xiě)答案).

A1_____________,B1______________C1______________

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