Question

【題目】⑴ 閱讀理解：我們知道在直角三角形中，有無數(shù)組勾股數(shù)，例如：5、12、13；9、40、41；……但其中也有一些特殊的勾股數(shù)，例如：3、4、5；是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)組成的勾股數(shù).

解決問題：① 在無數(shù)組勾股數(shù)中，是否存在三個(gè)連續(xù)偶數(shù)能組成勾股數(shù)？

答： ，若存在，試寫出一組勾股數(shù)： .

② 在無數(shù)組勾股數(shù)中，是否還存在其它的三個(gè)連續(xù)正整數(shù)能組成勾股數(shù)？若存在，求出勾股數(shù)，若不存在，說明理由.

③ 在無數(shù)組勾股數(shù)中，是否存在三個(gè)連續(xù)奇數(shù)能組成勾股數(shù)？若存在，求出勾股數(shù)，若不存在，說明理由.

⑵ 探索升華：是否存在銳角△ABC三邊也為連續(xù)正整數(shù)；且同時(shí)還滿足：∠B＞∠C＞∠A；∠ABC＝2∠BAC？若存在，求出△ABC三邊的長(zhǎng)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）①存在，6、8、10；②不存在，理由見解析；③不存在，理由見解析；（2）存在．三邊長(zhǎng)分別是4、5、6

【解析】分析：(1)①3，4，5是連續(xù)正整數(shù)，則它們的2倍是連續(xù)偶數(shù)；②設(shè)三個(gè)連續(xù)正整數(shù)分別是：n－1，n，n＋1(n＞1的整數(shù))，用勾股定理列方程求解；③設(shè)三個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別是：2n－1，2n＋1，2n＋3(n＞1的整數(shù))，由奇數(shù)的平方是奇數(shù)，奇數(shù)＋奇數(shù)＝偶數(shù)分析判斷；(2)延長(zhǎng)CB到點(diǎn)D，使BD＝BA，連接AD，證明△CAB∽△CDA，用比例線段列方程求解.

詳解：⑴①答：存在；6，8，10.

②答：不存在．

理由：假設(shè)在無數(shù)組勾股數(shù)中，還存在其它的三個(gè)連續(xù)正整數(shù)能組成勾股數(shù).

設(shè)三個(gè)連續(xù)正整數(shù)分別是：n－1，n，n＋1(n＞1的整數(shù))，

則：(n－1)2＋n2＝(n＋1)2，

得：n1＝4，n2＝0(舍去)

∴當(dāng)n＝4時(shí)，n－1＝3，n＋1＝5，

∴三個(gè)連續(xù)正整數(shù)仍然為3，4，5，

∴不存在其它的三個(gè)連續(xù)正整數(shù)能組成勾股數(shù)．

③答：不存在．

理由：假設(shè)在無數(shù)組勾股數(shù)中，存在三個(gè)連續(xù)奇數(shù)能組成勾股數(shù).

設(shè)三個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別是：2n－1，2n＋1，2n＋3(n＞1的整數(shù))，

∵(奇數(shù))2＋(奇數(shù))2≠(奇數(shù))2

∴不存在三個(gè)連續(xù)奇數(shù)能組成勾股數(shù)．

⑵答：存在．三邊長(zhǎng)分別是4，5，6．

理由：如圖，在△ABC中，設(shè)AB＝x，AC＝x＋1，BC＝x－1(x＞1的整數(shù))，

則：∠B＞∠C＞∠A；且∠ABC＝2∠BAC，

延長(zhǎng)CB到點(diǎn)D，使BD＝BA，連接AD.

∴∠BAD＝∠BDA，

又∵∠ABC＝∠BAD＋∠BDA＝2∠BDA，且∠ABC＝2∠BAC，

∴∠BAC＝∠BDA.

又∵∠C＝∠C，∴△CAB∽△CDA，

∴AC2＝BC·DC，∴(x＋1)2＝(x－1)[(x－1)＋x]，

得：x1＝5，x2＝0(舍去).

當(dāng)x＝5時(shí)，x－1＝4，x＋1＝6，即：BC＝4，AB＝5，AC＝6，

答：存在銳角△ABC三邊為連續(xù)正整數(shù)，BC＝4，AB＝5，AC＝6；

且同時(shí)還滿足：∠B＞∠C＞∠A；∠ABC＝2∠BAC.