Question

（1）觀察發(fā)現(xiàn)：
如圖1，若點A，B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點P，使AP+BP的值最�。�
做法如下：作點B關(guān)于直線l的對稱點B'，連接AB'，與直線l的交點就是所求的點P
再如圖2，在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最�。�
做法如下：作點B關(guān)于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為

 

．

（2）實踐運用
如圖3，菱形ABCD的兩條對角線分別長6和8，點P是對角線AC上的一個動點，點M、N分別是邊AB、BC的中點，求PM+PN的最小值．
（3）拓展延伸
如圖4，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點F，使∠AFB=∠AFD．保留作圖痕跡，不必寫出作法．

Answer 1

分析：（1）因為BP=PC，所以BP+PE=PC+PE=CE，而易知CE=

3

；
（2）過AC作N的對稱點N'，連接MN'，則PM+PN的最小值為MN'，計算出BC的長即為MN'的長；
（3）找B關(guān)于AC對稱點E，連DE延長交AC于P即可．

解答：解：（1）因為C是B點關(guān)于AD的對稱點，
∴BP=PC，
∴BP+PE=PC+PE=CE=

3

；

（2）如下圖過AC作N的對稱點N'，連接MN'，則PM+PN的最小值為MN'，
因為M，N為AB，BC邊上的中點，
∴MN=BC，
又BP=

1

2

×6=3，PC=

1

2

×8=4，
∴在直角△BPC中，BC=5，
∴MN=5．

（3）找B關(guān)于AC對稱點E，連DE延長交AC于F即可．

點評：本題考查了點的對稱點以及求最短路徑問題，難度適中，但步驟多做題時要圖形結(jié)合，認(rèn)真分析認(rèn)真作圖．