Question

（1）觀察發(fā)現(xiàn)
　 如圖（1）：若點A、B在直線m同側(cè)，在直線m上找一點P，使AP+BP的值最小，做法如下：
　 作點B關(guān)于直線m的對稱點B′，連接AB′，與直線m的交點就是所求的點P，線段AB′的長度即為AP+BP的最小值．

　 如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最小，做法如下：
作點B關(guān)于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為______．
（2）實踐運用
　 如圖（3）：已知⊙O的直徑CD為2，的度數(shù)為60°，點B是的中點，在直徑CD上作出點P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為______．

（3）拓展延伸
如圖（4）：點P是四邊形ABCD內(nèi)一點，分別在邊AB、BC上作出點M，點N，使PM+PN+MN的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法．

Answer 1

解：（1）觀察發(fā)現(xiàn)
如圖（2），CE的長為BP+PE的最小值，
∵在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點
∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，
∴CE=BE=；
故答案為；

（2）實踐運用
如圖（3），過B點作弦BE⊥CD，連結(jié)AE交CD于P點，連結(jié)OB、OE、OA、PB，
∵BE⊥CD，
∴CD平分BE，即點E與點B關(guān)于CD對稱，
∵的度數(shù)為60°，點B是的中點，
∴∠BOC=30°，∠AOC=60°，
∴∠EOC=30°，
∴∠AOE=60°+30°=90°，
∵OA=OE=1，
∴AE=OA=，
∵AE的長就是BP+AP的最小值．
故答案為；

（3）拓展延伸
如圖（4）．
分析：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：利用作法得到CE的長為BP+PE的最小值；由AB=2，點E是AB的中點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CE=；
（2）實踐運用：過B點作弦BE⊥CD，連結(jié)AE交CD于P點，連結(jié)OB、OE、OA、PB，根據(jù)垂徑定理得到CD平分BE，即點E與點B關(guān)于CD對稱，則AE的長就是BP+AP的最小值；
由于的度數(shù)為60°，點B是的中點得到∠BOC=30°，∠AOC=60°，所以∠AOE=60°+30°=90°，于是可判斷△OAE為等腰直角三角形，則AE=OA=；
（3）拓展延伸：分別作出點P關(guān)于AB和BC的對稱點E和F，然后連結(jié)EF，EF交AB于M、交BC于N．
點評：本題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關(guān)系以及圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明中經(jīng)常用到，同時熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及軸對稱-最短路徑問題．