【題目】問題背景:如圖1:在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120 ,∠B=∠ADC=90°.E、F分別是 BC,CD 上的點。且∠EAF=60° . 探究圖中線段BE,EF,FD 之間的數量關系。 小王同學探究此問題的方法是,延長 FD 到點 G,使 DG=BE,連結 AG,先證明△ABE≌△ADG, 再證明△AEF≌△AGF,可得出結論,他的結論應是_________;
探索延伸:如圖2,若四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180° .E,F 分別是 BC,CD 上的點,且∠EAF=∠BAD,上述結論是否仍然成立,并說明理由;
實際應用:如圖3,在某次軍事演習中,艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處,艦艇乙在指揮中心南偏東 70°的B處,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等,接到行動指令后,艦艇甲向正東方向以55 海里/小時的速度前進,艦艇乙沿北偏東 50°的方向以 75 海里/小時的速度前進2小時后, 指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達 E,F 處,且兩艦艇之間的夾角為70° ,試求此時兩艦 艇之間的距離。
【答案】問題背景:EF=BE+DF,理由見解析;探索延伸:結論仍然成立,理由見解析;實際應用:210海里.
【解析】
問題背景:延長FD到點G.使DG=BE.連結AG,即可證明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再證明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解題;
探索延伸:延長FD到點G.使DG=BE.連結AG,即可證明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再證明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解題;
實際應用:連接EF,延長AE、BF相交于點C,然后與(2)同理可證.
問題背景:EF=BE+DF,證明如下:
在△ABE和△ADG中,
,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△GAF中,
,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=FG,
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+DF,
故答案為: EF=BE+DF;
探索延伸:結論EF=BE+DF仍然成立,
理由:延長FD到點G.使DG=BE,連結AG,如圖2,
在△ABE和△ADG中,,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△GAF中,
,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=FG,
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+DF;
實際應用:如圖3,連接EF,延長AE、BF相交于點C,
∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,∠EOF=70°,
∴∠EOF=∠AOB,
又∵OA=OB,∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°,
∴符合探索延伸中的條件,
∴結論EF=AE+BF成立,
即EF=2×(45+60)=210(海里),
答:此時兩艦艇之間的距離是210海里.
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【題目】如圖,是將菱形ABCD以點O為中心按順時針方向分別旋轉90°,180°,270°后形成的圖形.若∠BAD=60°,AB=2,則圖中陰影部分的面積為 .
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【題目】如圖①,已知AB∥CD,點E、F分別是AB、CD上的點,點P是兩平行線之間的一點,設∠AEP=α,∠PFC=β,在圖①中,過點E作射線EH交CD于點N,作射線FI,延長PF到G,使得PE、FG分別平分∠AEH、∠DFl,得到圖②.
(1)在圖①中,過點P作PM∥AB,當α=20°,β=50°時,∠EPM= 度,∠EPF= 度;
(2)在(1)的條件下,求圖②中∠END與∠CFI的度數;
(3)在圖②中,當FI∥EH時,請直接寫出α與β的數量關系.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知△ABC三個頂點的坐標分別是A(2,2),B(4,0),C(4,﹣4).
(1)請在圖中,畫出△ABC向左平移6個單位長度后得到的△A1B1C1;
(2)以點O為位似中心,將△ABC縮小為原來的,得到△A2B2C2,請在圖中y軸右側,畫出△A2B2C2,并求出∠A2C2B2的正弦值.
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【題目】如圖1,OABC的邊OC在y軸的正半軸上,,,反比例函數的圖象經過的B.
求點B的坐標和反比例函數的關系式;
如圖2,直線MN分別與x軸、y軸的正半軸交于M,N兩點,若點O和點B關于直線MN成軸對稱,求線段ON的長;
如圖3,將線段OA延長交的圖象于點D,過B,D的直線分別交x軸、y軸于E,F兩點,請?zhí)骄烤段ED與BF的數量關系,并說明理由.
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【題目】如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有兩個不相等的實數根,且其中一個根為另一個根的2倍,那么稱這樣的方程為“倍根方程”.例如,方程x2-6x+8=0的兩個根是2和4,則方程x2-6x+8=0就是“倍根方程”.
(1)若一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”,則c= ;
(2)若(x-2) (mx-n)=0(m≠0)是“倍根方程”,求代數式4m2-5mn+n2的值;
(3)若方程ax2+bx+c=0 (a≠0)是倍根方程,且相異兩點M(1+t,s),N(4-t,s),都在拋物線y=ax2+bx+c上,求一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根.
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【題目】二次函數圖象的頂點在原點O,經過點A(1,);點F(0,1)在y軸上.直線y=﹣1與y軸交于點H.
(1)求二次函數的解析式;
(2)點P是(1)中圖象上的點,過點P作x軸的垂線與直線y=﹣1交于點M.
求證:PFM為等腰三角形;
(3)作PQFM于點Q,當點P從橫坐標2013處運動到橫坐標2017處時,請求出點Q運動的路徑長.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分線交BC于點D,那么∠DAC的度數為( 。
A. 90° B. 80° C. 70° D. 60°
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