Question

已知，如圖拋物線y＝ax²＋3ax＋c(a>0)與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，A點在B點左側(cè)．點B的坐標為(1,0)，OC＝3OB.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD的面積的最大值；

(3)若點E在x軸上，點P在拋物線上，是否存在以A、C、E、P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

 (1)∴y＝x²＋x－3

(2)過點D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點M、N.

∴S_{四邊形ABCD}＝S_△ABC＋S_△ACD＝＋·DM·(AN＋ON)＝＋2DM.

∵A(－4,0)，C(0，－3)，

設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋b，

代入求得：y＝－x－3，

令D，M，

則DM＝－x－3－＝－ (x＋2)²＋3.

當x＝－2時，DM有最大值3，此時四邊形ABCD面積有最大值.

(3)如圖①所示，討論：①過點C作CP₁∥x軸交拋物線于點P₁，過點P₁作P₁E₁∥AC交x軸于點E₁，此時四邊形ACP₁E₁為平行四邊形，

∵C(0，－3)，令x²＋x－3＝－3得x₁＝0，x₂＝－3，

∴CP₁＝3.∴P₁(－3，－3)．

②如圖②，平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P，

當AC＝PE時，四邊形ACEP為平行四邊形，

∵C(0，－3)，

∴可令P(x,3)，由x²＋x－3＝3得：x²＋3x－8＝0，

解得x₁＝或x₂＝，

此時存在點P₂和P₃.

綜上所述，存在3個點符合題意，坐標分別是P₁(－3，－3)，P₂，P₃.

【解析】（1）先求出拋物線的對稱軸，再由OC＝3OB＝3，a>0，即可求得C點坐標，由B(1,0)、C(0，－3)根據(jù)待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式；

（2）過點D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點M、N。先表示出四邊形ABCD的面積，再求出直線AC的函數(shù)解析式，即可表示出DM的長，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)果；

分情況討論：①過點C作CP₁∥x軸交拋物線于點P₁，過點P₁作P₁E₁∥AC交x軸于點E₁，此時四邊形ACP₁E₁為平行四邊形，②如圖②，平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P，當AC＝PE時，四邊形ACEP為平行四邊形。