【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經過A(﹣1,0)、B(4,0)、C(0,2)三點.

(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)點D是該二次函數(shù)圖象上的一點,且滿足∠DBA=∠CAO(O是坐標原點),求點D的坐標;
(3)點P是該二次函數(shù)圖象上位于一象限上的一動點,連接PA分別交BC,y軸與點E、F,若△PEB、△CEF的面積分別為S1、S2 , 求S1﹣S2的最大值.

【答案】
(1)

解:由題意可得 ,解得 ,

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+2;


(2)

解:當點D在x軸上方時,過C作CD∥AB交拋物線于點D,如圖1,

∵A、B關于對稱軸對稱,C、D關于對稱軸對稱,

∴四邊形ABDC為等腰梯形,

∴∠CAO=∠DBA,即點D滿足條件,

∴D(3,2);

當點D在x軸下方時,

∵∠DBA=∠CAO,

∴BD∥AC,

∵C(0,2),

∴可設直線AC解析式為y=kx+2,把A(﹣1,0)代入可求得k=2,

∴直線AC解析式為y=2x+2,

∴可設直線BD解析式為y=2x+m,把B(4,0)代入可求得m=﹣8,

∴直線BD解析式為y=2x﹣8,

聯(lián)立直線BD和拋物線解析式可得 ,解得

∴D(﹣5,﹣18);

綜上可知滿足條件的點D的坐標為(3,2)或(﹣5,﹣18);


(3)

解:過點P作PH∥y軸交直線BC于點H,如圖2,

設P(t,﹣ t2+ t+2),

由B、C兩點的坐標可求得直線BC的解析式為y=﹣ x+2,

∴H(t,﹣ t+2),

∴PH=yP﹣yH=﹣ t2+ t+2﹣(﹣ t+2)=﹣ t2+2t,

設直線AP的解析式為y=px+q,

,解得 ,

∴直線AP的解析式為y=(﹣ t+2)(x+1),令x=0可得y=2﹣ t,

∴F(0,2﹣ t),

∴CF=2﹣(2﹣ t)= t,

聯(lián)立直線AP和直線BC解析式可得 ,解得x= ,即E點的橫坐標為 ,

∴S1= PH(xB﹣xE)= (﹣ t2+2t)(5﹣ ),S2= ,

∴S1﹣S2= (﹣ t2+2t)(5﹣ )﹣ =﹣ t2+5t=﹣ (t﹣ 2+ ,

∴當t= 時,有S1﹣S2有最大值,最大值為


【解析】(1)由A、B、C三點的坐標,利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;(2)當點D在x軸上方時,則可知當CD∥AB時,滿足條件,由對稱性可求得D點坐標;當點D在x軸下方時,可證得BD∥AC,利用AC的解析式可求得直線BD的解析式,再聯(lián)立直線BD和拋物線的解析式可求得D點坐標;(3)過點P作PH∥y軸交直線BC于點H,可設出P點坐標,從而可表示出PH的長,可表示出△PEB的面積,進一步可表示出直線AP的解析式,可求得F點的坐標,聯(lián)立直線BC和PA的解析式,可表示出E點橫坐標,從而可表示出△CEF的面積,再利用二次函數(shù)的性質可求得S1﹣S2的最大值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關知識,掌握二次函數(shù)圖像關鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點,以及對二次函數(shù)的性質的理解,了解增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。

練習冊系列答案
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