【題目】如圖,已知直線y=kx+6與拋物線y=+bx+c相交于A,B兩點,且點A(1,4)為拋物線的頂點,點B在x軸上.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在(1)中拋物線的第三象限圖象上是否存在一點P,使△POB與△POC全等?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)若點Q是y軸上一點,且△ABQ為直角三角形,求點Q的坐標.
【答案】(1)y=+2x+3;(2)存在;P(,);(3)(0,)或(0,)或(0,1)或(0,3).
【解析】
試題分析:(1)由待定系數法確定函數解析式;
(2)先確定出點C坐標,再由△POB≌△POC建立方程,求解即可,
(3)分三種情況計算,分別判斷∽△DOB,∽△DOB,∽,列出比例式建立方程求解即可.
試題解析:(1)把A(1,4)代入y=kx+6,
∴k=﹣2,
∴y=﹣2x+6,
由y=﹣2x+6=0,得x=3
∴B(3,0).
∵A為頂點
∴設拋物線的解析為y=+4,
∴a=﹣1,
∴y=+4=+2x+3;
(2)存在.理由如下:
當x=0時y=+2x+3=3,
∴C(0,3)
∵OB=OC=3,OP=OP,
∴當∠POB=∠POC時,△POB≌△POC,
作PM⊥x軸于M,作PN⊥y軸于N,
∴∠POM=∠PON=45°.
∴PM=PN
∴設P(m,m),則m=+2m+3,
∴m=,
∵點P在第三象限,
∴P(,);
(3)①如圖,當=90°時,作AE⊥y軸于E,
∴E(0,4)
∵=∠DOB=90°,=∠BDO,
∴∽△DOB,
∴,即,
∴=,
∴=,
∴(0,);
②如圖,
當=90°時,∠DBO+=+=90°,
∴∠DBO=,
∵∠DOB==90°,
∴∽△DOB,
∴,
∴,
∴=,
∴(0,);
③如圖,當=90°時,==90°,
∴=90°,
∴
∴,
∴,即,
∴=0,
∴=1或3,
∴(0,1)或(0,3).
綜上,Q點坐標為(0,)或(0,)或(0,1)或(0,3).
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】二次函數y=+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示,圖象過點(﹣1,0),對稱軸為直線x=2,下列結論:(1)4a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c>0;(4)若點A(﹣3,)、點B(,)、點C(,)在該函數圖象上,則<<;(5)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣3的兩根為和,且<,則<﹣1<5<.其中正確的結論有( ).
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知Rt△AOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上,且OA、OB的長滿足|OA﹣8|+(OB﹣6)2=0,∠ABO的平分線交x軸于點C過點C作AB的垂線,垂足為點D,交y軸于點E.
(1)求線段AB的長;
(2)求直線CE的解析式;
(3)若M是射線BC上的一個動點,在坐標平面內是否存在點P,使以A、B、M、P為頂點的四邊形是矩形?若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】組裝甲、乙、丙3種產品,需用A、B、C3種零件.每件甲需用A、B各2個;每件乙需用B、C各1個;每件丙需用2個A和1個C.用庫存的A、B、C3種零件,如組裝成p件甲產品、q件乙產品、r件丙產品,則剩下2個A和1個B,C恰好用完.求證:無論怎樣改變生產甲、乙、丙的件數,也不能把庫存的A、B、C3種零件都恰好用完.
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