【題目】給定直線l:y=kx,拋物線C:y=ax2+bx+1.
(1)當(dāng)b=1時,l與C相交于A,B兩點,其中A為C的頂點,B與A關(guān)于原點對稱,求a的值;
(2)若把直線l向上平移k2+1個單位長度得到直線l′,則無論非零實數(shù)k取何值,直線l′與拋物線C都只有一個交點.
①求此拋物線的解析式;
②若P是此拋物線上任一點,過P作PQ∥y軸且與直線y=2交于Q點,O為原點.求證:OP=PQ.
【答案】
(1)
∵l:y=kx,C:y=ax2+bx+1,當(dāng)b=1時有A,B兩交點,
∴A,B兩點的橫坐標(biāo)滿足kx=ax2+x+1,即ax2+(1﹣k)x+1=0.
∵B與A關(guān)于原點對稱,
∴0=xA+xB= ,
∴k=1.
∵y=ax2+x+1=a(x+ )2+1﹣ ,
∴頂點(﹣ ,1﹣ )在y=x上,
∴﹣ =1﹣ ,
解得 a=﹣ .
(2)
①解:∵無論非零實數(shù)k取何值,直線l′與拋物線C都只有一個交點,
∴k=1時,k=2時,直線l′與拋物線C都只有一個交點.
當(dāng)k=1時,l′:y=x+2,
∴代入C:y=ax2+bx+1中,有ax2+(b﹣1)x﹣1=0,
∵△=(b﹣1)2+4a=0,
∴(b﹣1)2+4a=0,
當(dāng)k=2時,l′:y=2x+5,
∴代入C:y=ax2+bx+1中,有ax2+(b﹣2)x﹣4=0,
∵△=(b﹣2)2+16a=0,
∴(b﹣2)2+16a=0,
∴聯(lián)立得關(guān)于a,b的方程組 ,
解得 或 .
∵l′:y=kx+k2+1代入C:y=ax2+bx+1,得ax2+(b﹣k)x﹣k2=0,
∴△=(b﹣k)2+4ak2.
當(dāng) 時,△=(﹣k)2+4×(﹣ )k2=k2﹣k2=0,故無論k取何值,直線l′與拋物線C都只有一個交點.
當(dāng) 時,△=( ﹣k)2+4×(﹣ )k2= k2﹣ k+ ,顯然雖k值的變化,△不恒為0,所以不合題意舍去.
∴C:y=﹣ x2+1.
②證明:根據(jù)題意,畫出圖象如圖1,
由P在拋物線y=﹣ x2+1上,設(shè)P坐標(biāo)為(x,﹣ x2+1),連接OP,過P作PQ⊥直線y=2于Q,作PD⊥x軸于D,
∵PD=|﹣ x2+1|,OD=|x|,
∴OP= = = = x2+1,
PQ=2﹣yP=2﹣(﹣ x2+1)= x2+1,
∴OP=PQ.
【解析】(1)直線與拋物線的交點B與A關(guān)于原點對稱,即橫縱坐標(biāo)對應(yīng)互為相反數(shù),即相加為零,這很適用于韋達(dá)定理.由其中有涉及頂點,考慮頂點式易得a值.(2)①直線l:y=kx向上平移k2+1,得直線l′:y=kx+k2+1.根據(jù)無論非零實數(shù)k取何值,直線l′與拋物線C:y=ax2+bx+1都只有一個交點,得ax2+(b﹣k)x﹣k2=0中△=(b﹣k)2+4ak2=0.這雖然是個方程,但無法求解.這里可以考慮一個數(shù)學(xué)技巧,既然k取任何值都成立,那么代入最簡單的1,2肯定是成立的,所以可以代入試驗,進(jìn)而可求得關(guān)于a,b的方程組,則a,b可能的值易得.但要注意答案中,可能有的只能滿足k=1,2時,并不滿足任意實數(shù)k,所以可以再代回△=(b﹣k)2+4ak2中,若不能使其結(jié)果為0,則應(yīng)舍去.
②求證OP=PQ,那么首先應(yīng)畫出大致的示意圖.發(fā)現(xiàn)圖中幾何條件較少,所以考慮用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化求出OP,PQ的值,再進(jìn)行比較.這里也有數(shù)學(xué)技巧,討論動點P在拋物線y=﹣ x2+1上,則可設(shè)其坐標(biāo)為(x,﹣ x2+1),進(jìn)而易求OP,PQ.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O為坐標(biāo)原點,二次函數(shù)y=x2+bx的圖象經(jīng)過點A(﹣1,4),交x軸于點B(a,0).
(1)求a與b的值;
(2)如圖1,點M為拋物線上的一個動點,且在直線AB下方,試求出△ABM面積的最大值及此時點M的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,點C為AB的中點,點P是線段AM上的動點,如圖2所示,問AP為何值時,將△BPC沿邊PC翻折后得到△EPC,使△EPC與△APC重疊部分的面積是△ABP的面積的 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A、B兩點,交y軸于點C,且B(1,0),C(0,3),將△BOC繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,C點恰好與A重合.
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)若點P為線段AB上的任一動點,過點P作PE∥AC,交BC于點E,連結(jié)CP,求△PCE面積S的最大值;
(3)設(shè)拋物線的頂點為M,Q為它的圖象上的任一動點,若△OMQ為以O(shè)M為底的等腰三角形,求Q點的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】化簡與計算
(1)( ﹣2)0+( )﹣1+4cos30°﹣|﹣ |.
(2)先化簡,再求值: ÷( ﹣a﹣2),其中a= ﹣3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,∠A=120°,AD=2,BD平分∠ABC,則梯形ABCD的周長是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】第一次模擬試后,數(shù)學(xué)科陳老師把一班的數(shù)學(xué)成績制成如圖的統(tǒng)計圖,并給了幾個信息:①前兩組的頻率和是0.14;②第一組的頻率是0.02;③自左到右第二、三、四組的頻數(shù)比為3:9:8,然后布置學(xué)生(也請你一起)結(jié)合統(tǒng)計圖完成下列問題:
(1)全班學(xué)生是多少人?
(2)成績不少于90分為優(yōu)秀,那么全班成績的優(yōu)秀率是多少?
(3)若不少于100分可以得到A+等級,則小明得到A+的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,點E在BC邊上,且CE:BC=2:3,AC與DE相交于點F,若S△AFD=9,則S△EFC= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),已知直線y=x+4與x軸、y軸分別相交于點A和點C,拋物線y=x2+kx+k﹣1圖象過點A和點C,拋物線與x軸的另一交點是B,
(1)求出此拋物線的解析式、對稱軸以及B點坐標(biāo);
(2)若在y軸負(fù)半軸上存在點D,能使得以A、C、D為頂點的三角形與△ABC相似,請求出點D的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)廣場上有旗桿如圖1所示,在學(xué)習(xí)解直角三角形以后,數(shù)學(xué)興趣小組測量了旗桿的長度.如圖2,在某一時刻,光線與水平面的夾角為72°,旗桿AB的影子一部分落在平臺上,另一部分落在斜坡上,測得落在平臺上的影長BC為4米,落在斜坡上的影長CD為3米,AB⊥BC,同一時刻,若1米的豎立標(biāo)桿PQ在斜坡上的影長QR為2米,求旗桿AB的長度.(結(jié)果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù):sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08).
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