【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,且B(1,0),C(0,3),將△BOC繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,C點(diǎn)恰好與A重合.

(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)若點(diǎn)P為線段AB上的任一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PE∥AC,交BC于點(diǎn)E,連結(jié)CP,求△PCE面積S的最大值;
(3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M,Q為它的圖象上的任一動(dòng)點(diǎn),若△OMQ為以O(shè)M為底的等腰三角形,求Q點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:∵B(1,0),C(0,3),

∴OB=1,OC=3.

∵△BOC繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,C點(diǎn)恰好與A重合.

∴OA=OC=3,

∴A(﹣3,0),

∵點(diǎn)A,B,C在拋物線上,

,

∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2﹣2x+3


(2)

解:設(shè)點(diǎn)P(x,0),則PB=1﹣x,

∵A(﹣3,0),B(1,0),

∴AB=4,

∵C(0,3),

∴OC=3,

∴SABC= AB×OC=6,

∵PE∥AC,

∴△BPE∽△BAC,

,

∴SPBE= (1﹣x)2

∴SPCE=SPBC﹣SPBE= PB×OC﹣ (1﹣x)2= (1﹣x)×3﹣ (1﹣x)2=﹣ (x+1)2+ ,

當(dāng)x=﹣1時(shí),SPCE的最大值為


(3)

解:∵二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)(﹣1,4),

∵△OMQ為等腰三角形,OM為底,

∴MQ=OQ,

= ,

∴8x2+18x=7=0,

∴x= ,

∴y= 或y=

∴Q( , ),或( , ).


【解析】(1)先求出點(diǎn)A坐標(biāo),再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;(2)先求出SPCE=SPBC﹣SPBE=﹣ (x﹣1)2+ ,即可求出最大面積;(3)先求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo),由等腰三角形的兩腰相等建立方程求出點(diǎn)Q坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減。粚(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.

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【題目】若關(guān)x的函數(shù)y=kx2+2x-1的圖像與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的值為。

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【題目】已知二次函數(shù)y=x2+2(m+l)x﹣m+1.以下四個(gè)結(jié)論:
①不論m取何值,圖象始終過(guò)點(diǎn)( ,2 );
②當(dāng)﹣3<m<0時(shí),拋物線與x軸沒有交點(diǎn):
③當(dāng)x>﹣m﹣2時(shí),y隨x的增大而增大;
④當(dāng)m=﹣ 時(shí),拋物線的頂點(diǎn)達(dá)到最高位置.
請(qǐng)你分別判斷四個(gè)結(jié)論的真假,并給出理由.

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【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,直徑AF平分∠BAC,交BC于點(diǎn)D.
(1)如圖1,求證:AB=AC;
(2)如圖2,延長(zhǎng)BA到點(diǎn)E,連接ED、EC,ED交AC于點(diǎn)G,且ED=EC,求證:∠EGC=∠ECA+2∠ACB;
(3)如圖3,在(2)的條件下,當(dāng)BC是⊙O的直徑時(shí),取DC的中點(diǎn)M,連接AM并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)N,且EG=5,連接CN并求CN的長(zhǎng).

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【題目】為了緩解長(zhǎng)沙市區(qū)內(nèi)一些主要路段交通擁擠的現(xiàn)狀,交警隊(duì)在一些主要路口設(shè)立了交通路況顯示牌(如圖).已知立桿AB高度是3m,從側(cè)面D點(diǎn)測(cè)得顯示牌頂端C點(diǎn)和底端B點(diǎn)的仰角分別是60°和45°.求路況顯示牌BC的高度.

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(1)某校九年級(jí)某班課外活動(dòng)小組承接了這個(gè)園藝造型搭配方案的設(shè)計(jì),問符合題意的搭配方案有幾種?請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)出來(lái);
(2)若搭配一個(gè)A種造型的成本是200元,搭配一個(gè)B種造型的成本是360元,試說(shuō)明(1)中哪種方案成本最低,最低成本是多少元?

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(1)( ﹣2)0+( 1+4cos30°﹣|﹣ |.
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(1)當(dāng)b=1時(shí),l與C相交于A,B兩點(diǎn),其中A為C的頂點(diǎn),B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,求a的值;
(2)若把直線l向上平移k2+1個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線l′,則無(wú)論非零實(shí)數(shù)k取何值,直線l′與拋物線C都只有一個(gè)交點(diǎn).
①求此拋物線的解析式;
②若P是此拋物線上任一點(diǎn),過(guò)P作PQ∥y軸且與直線y=2交于Q點(diǎn),O為原點(diǎn).求證:OP=PQ.

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A.(﹣1,0)
B.(1,﹣2)
C.(1,1)
D.(﹣1,﹣1)

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