【題目】如圖,已知二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=2,頂點(diǎn)為點(diǎn)C,直線y=x+m與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5,8),點(diǎn)B在y軸上.

(1)求m的值和該二次函數(shù)的表達(dá)式.P為線段AB上一個動點(diǎn)(點(diǎn)P不與A,B兩點(diǎn)重合),過點(diǎn)P作x軸的垂線,與這個二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E.
①設(shè)線段PE的長為h,求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.
②若直線AB與這個二次函數(shù)圖象的對稱軸的交點(diǎn)為D,求當(dāng)四邊形DCEP是平行四邊形時點(diǎn)P的坐標(biāo).
(2)若點(diǎn)P(x,y)為直線AB上的一個動點(diǎn),試探究:以PB為直徑的圓能否與坐標(biāo)軸相切?如果能請求出點(diǎn)P的坐標(biāo),如果不能,請說明理由.

【答案】
(1)解: A的坐標(biāo)為(5,8)在直線y=x+m上,

∴8=5+m,

∴m=3,

∴直線AB解析式為y=x+3,

∴B(0,3),

設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣2)2+k,

∵點(diǎn)A,B在拋物線上,

,

∴拋物線解析式為y=(x﹣2)2﹣1=x2﹣4x+3,頂點(diǎn)C(2,﹣1)

①∵點(diǎn)P在線段AB上,

∴P(x,x+3)(0≤x≤5),

∵PE⊥x軸,交拋物線與E,P(x,x+3),

∴E(x,x2﹣4x+3),

∴h=PE=x+3﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+5x,(0≤x≤5)

②∵直線AB與這個二次函數(shù)圖象的對稱軸的交點(diǎn)為D,

∴D(2,5),

∴DC=6,

∵四邊形DCEP是平行四邊形,

∴PE=DC=6,

∵PE=|﹣x2+5x|,

Ⅰ、當(dāng)0≤x≤5時,﹣x2+5x=6,

∴x1=2(舍),x2=3,

∴P(3,6),

Ⅱ、當(dāng)x<0,或x>5時,x2﹣5x=6,

∴x3=﹣1,x4=6,

∴P(﹣1,2)或P(6,9),(舍)

即:點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,6)


(2)解:∵點(diǎn)P(x,y)為直線AB上的一個動點(diǎn),

∴P(x,x+3),

∴點(diǎn)P到x軸的距離為|x+3|,到y(tǒng)軸的距離為|x|,

∵點(diǎn)B(0,3),

∴BP= |x|,

∵以PB為直徑的圓能與坐標(biāo)軸相切,

∴①以PB為直徑的圓能與y軸相切,

∴|x|= |x|,

∴x=0(舍),

②以PB為直徑的圓能與x軸相切,

∴|x+3|= |x|,

∴x=﹣6﹣3 或x=﹣6+3 ,

∴P(﹣6﹣3 ,﹣3+3 )或P(﹣6﹣3 ,﹣3﹣3 ).

故存在點(diǎn)P,坐標(biāo)為P(﹣6+3 ,﹣3+3 )或P(﹣6﹣3 ,﹣3﹣3 )時,以PB為直徑的圓能與坐標(biāo)軸相切


【解析】(1)易由點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5,8)可得直線AB解析式為y=x+3;從而求得B(0,3),結(jié)合對稱軸直線x=2,可利用頂點(diǎn)式求得拋物線解析式,頂點(diǎn)C為(2,﹣1)。①從而PE的長為兩個函數(shù)的差PE=x+3﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+5x,(0≤x≤5)②易得直線AB與這個二次函數(shù)圖象的對稱軸的交點(diǎn)為D,點(diǎn)D坐標(biāo)易得為(2,5),由四邊形DCEP是平行四邊形,PE=DC=6,由①中的函數(shù)解析式可得當(dāng)0≤x≤5時,﹣x2+5x=6;當(dāng)x<0,或x>5時,x2﹣5x=6計算得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,6)
(2)由點(diǎn)P(x,y)為直線AB上的一個動點(diǎn),可得P(x,x+3)所以點(diǎn)P到x軸的距離為|x+3|,到y(tǒng)軸的距離為|x|,由點(diǎn)B可得BP的長,可判斷能與坐標(biāo)軸相切;分類討論與x軸或Y軸兩種情況,可得最后結(jié)果及P取何值時可相切。

練習(xí)冊系列答案
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(1)求函數(shù)y=kx+b和y= 的表達(dá)式;
(2)已知點(diǎn)C(0,5),試在該一次函數(shù)圖象上確定一點(diǎn)M,使得MB=MC,求此時點(diǎn)M的坐標(biāo).

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(2)求線段CD所表示的y2與x之間的函數(shù)表達(dá)式.
(3)當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時,獲得的利潤最大?最大利潤是多少?

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類比探究:

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(1)若引出兩條射線,則所得圖形中共有 個銳角;

(2)若引出條射線,則所得圖形中共有 個銳角.(用含的代數(shù)式表示)

拓展應(yīng)用:

一條鐵路上共有8個火車站,若一列火車往返過程中必須停靠每個車站,則鐵路局需為這條線路準(zhǔn)備多少種車票?

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,其中正確的是( )

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乙:從箱子里摸出一個球,記下顏色后放回,攪勻,這樣連續(xù)操作三次,其中必有一次摸到的是白球;
(2)小明說:從箱子里摸出一個球,不放回,再摸出一個球,則“摸出的球中有白球”這一事件的概率為 ,你認(rèn)同嗎?請畫樹狀圖或列表計算說明.

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