【題目】圖1和圖2,半圓O的直徑AB=2,點(diǎn)P不與點(diǎn)A,B重合為半圓上一點(diǎn),將圖形延BP折疊,分別得到點(diǎn)A,O的對(duì)稱點(diǎn)A′,O′,設(shè)ABP=α

1當(dāng)α=15°時(shí),過點(diǎn)A′作A′CAB,如圖1,判斷A′C與半圓O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由

2如圖2,當(dāng)α= °時(shí),BA′與半圓O相切當(dāng)α= °時(shí),點(diǎn)O′落在

3當(dāng)線段BO′與半圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)B時(shí),求α的取值范圍

【答案】1A′C與半圓O相切;理由見解析;245;30;30°<α<30°或45°≤α<90°

【解析

試題1過O作ODA′C于點(diǎn)D,交A′B于點(diǎn)E,利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求得DE+OE=A′B=AB=OA,可判定A′C與半圓相切;

2當(dāng)BA′與半圓相切時(shí),可知OBA′B,則可知α=45°,當(dāng)O′在上時(shí),連接AO′,則可知BO′=AB,可求得O′BA=60°,可求得α=30°;

3利用2可知當(dāng)α=30°時(shí),線段O′B與圓交于O′,當(dāng)α=45°時(shí)交于點(diǎn)B,結(jié)合題意可得出滿足條件的α的范圍

試題解析:1相切,理由如下:

如圖1,過O作OD過O作ODA′C于點(diǎn)D,交A′B于點(diǎn)E,

α=15°,A′CAB,

∴∠ABA′=CA′B=30°,

DE=A′E,OE=BE,

DO=DE+OE=A′E+BE=AB=OA,

A′C與半圓O相切;

2當(dāng)BA′與半圓O相切時(shí),則OBBA′,

∴∠OBA′=2α=90°,

α=45°,

當(dāng)O′在上時(shí),如圖2,

連接AO′,則可知BO′=AB,

∴∠O′AB=30°,

∴∠ABO′=60°,

α=30°,

3點(diǎn)P,A不重合,α>0,

2可知當(dāng)α增大到30°時(shí),點(diǎn)O′在半圓上,

當(dāng)0°<α<30°時(shí)點(diǎn)O′在半圓內(nèi),線段BO′與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B;

當(dāng)α增大到45°時(shí)BA′與半圓相切,即線段BO′與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B

當(dāng)α繼續(xù)增大時(shí),點(diǎn)P逐漸靠近點(diǎn)B,但是點(diǎn)P,B不重合,

α<90°,

當(dāng)45°≤α<90°線段BO′與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B

綜上所述0°<α<30°或45°≤α<90°

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⑴請(qǐng)問甲乙兩地的路程為 ;

⑵求慢車和快車的速度;

⑶求線段BC所表示的yx之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;

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