Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O且AC、BD的長(zhǎng)（）是方程的兩個(gè)根.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿邊A→O→B→A的方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）.

（1）求AC和BD的長(zhǎng)；

（2）求當(dāng)AP恰好平分時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；

（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)P，使是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值：若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）秒；（3）存在，綜上：18秒或16.8秒或12秒或.

【解析】

(1)解方程得兩根為12和16，所以，；

(2)設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，平分，如圖，過點(diǎn)Ｐ作于Q，利用角平分線定理把已知和未知線段都?xì)w結(jié)到直角中，利用勾股定理構(gòu)造方程，可求得的值；

(3)分別以AO為腰，A為頂點(diǎn)；AO為腰，O為頂點(diǎn)；AO為底構(gòu)造等腰三角形，畫圖，通過計(jì)算可求得答案.

(1)方程 可化成

∴

∵

故，；

(2)設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，平分，

如圖，過點(diǎn)Ｐ作于Q，

∵，，四邊形ABCD是菱形，

∴，，

在直角中，∵，，∴；

∵平分，，，

∴,

，

，

為直角三角形，

即：，化簡(jiǎn)并求得：.

故答案是：秒.

(3)存在.

以為腰，為頂點(diǎn)的等腰三角形，如圖：

∵

∴；

以為腰，為頂點(diǎn)的等腰三角形，如圖：

作于E，

在Rt和Rt中：

公共，∴RtRt

，即，∴,

∵, ∴

∴；

∵,

∴；

以AO為底的等腰三角形，如圖：

過作于，

，∴點(diǎn)F為AO中點(diǎn)，

四邊形ABCD為菱形，∴，

又，∴,

是AB中點(diǎn)，,

∴；

綜上：18秒或16.8秒或12秒或.