(2013•銅仁地區(qū))如圖,已知直線y=3x-3分別交x軸、y軸于A、B兩點,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點,點C是拋物線與x軸的另一個交點(與A點不重合).
(1)求拋物線的解析式;
(2)求△ABC的面積;
(3)在拋物線的對稱軸上,是否存在點M,使△ABM為等腰三角形?若不存在,請說明理由;若存在,求出點M的坐標(biāo).
分析:(1)根據(jù)直線解析式求出點A及點B的坐標(biāo),然后將點A及點B的坐標(biāo)代入拋物線解析式,可得出b、c的值,求出拋物線解析式;
(2)由(1)求得的拋物線解析式,可求出點C的坐標(biāo),繼而求出AC的長度,代入三角形的面積公式即可計算;
(3)根據(jù)點M在拋物線對稱軸上,可設(shè)點M的坐標(biāo)為(-1,m),分三種情況討論,①MA=BA,②MB=BA,③MB=MA,求出m的值后即可得出答案.
解答:解:(1)∵直線y=3x-3分別交x軸、y軸于A、B兩點,
∴可得A(1,0),B(0,-3),
把A、B兩點的坐標(biāo)分別代入y=x2+bx+c得:
1+b+c=0
c=-3
,
解得:
b=2
c=-3

∴拋物線解析式為:y=x2+2x-3.

(2)令y=0得:0=x2+2x-3,
解得:x1=1,x2=-3,
則C點坐標(biāo)為:(-3,0),AC=4,
故可得S△ABC=
1
2
AC×OB=
1
2
×4×3=6.

(3)拋物線的對稱軸為:x=-1,假設(shè)存在M(-1,m)滿足題意:
討論:
①當(dāng)MA=AB時,
22+m2
=
10
,
解得:m=±
6

∴M1(-1,
6
),M2(-1,-
6
);
②當(dāng)MB=BA時,
12+(m+3)2
=
10

解得:M3=0,M4=-6,
∴M3(-1,0),M4(-1,-6)(不合題意舍去),
③當(dāng)MB=MA時,
22+m2
=
12+(m+3)2
,
解得:m=-1,
∴M5(-1,-1),
答:共存在4個點M1(-1,
6
),M2(-1,-
6
),M3(-1,0),M4(-1,-1)使△ABM為等腰三角形.
點評:本題考查了二次函數(shù)的綜合題,涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)及三角形的面積,難點在第三問,注意分類討論,不要漏解.
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