Question

【題目】如圖1所示，將一個(gè)邊長為2的正方形ABCD和一個(gè)長為2、寬為1的矩形CEFD拼在一起，構(gòu)成一個(gè)大的矩形ABEF，現(xiàn)將小矩形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形CE′F′D′，旋轉(zhuǎn)角為α．

（1）當(dāng)點(diǎn)D′恰好落在EF邊上時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角α的值；
（2）如圖2，G為BC的中點(diǎn)，且0°＜α＜90°，求證：GD′=E′D；

（3）小矩形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，△DCD′與△CBD′能否全等？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的值；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，

∴CD′=CD=2，

在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，

∴∠CD′E=30°，

∵CD∥EF，

∴∠α=30°；

（2）

證明：∵G為BC中點(diǎn)，

∴CG=1，

∴CG=CE，

∵長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，

∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，

∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，

在△GCD′和△E′CD中

，

∴△GCD′≌△E′CD（SAS），

∴GD′=E′D；

（3）

解：能．理由如下：

∵四邊形ABCD為正方形，

∴CB=CD，

∵CD′=CD′，

∴△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，

當(dāng)∠BCD′=∠DCD′時(shí)，△CBD′≌△DCD′，

當(dāng)△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角α= =135°，

當(dāng)△BCD′與△DCD′為銳角三角形時(shí)，∠BCD′=∠DCD′= ∠BCD=45°

則α=360°﹣ =315°，

即旋轉(zhuǎn)角a的值為135°或315°時(shí)，△BCD′與△DCD′全等．

【解析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD′=CD=2，即可判定∠CD′E=30°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠α=30°；（2）由G為BC中點(diǎn)可得CG=CE，然后根據(jù)“SAS”可判斷△GCD′≌△E′CD，則GD′=E′D；（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)得CB=CD，而CD=CD′，則△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，當(dāng)兩頂角相等時(shí)它們?nèi)�等，�?dāng)△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時(shí)，可計(jì)算出α=135°，當(dāng)△BCD′與△DCD′為銳角三角形時(shí)，可計(jì)算得到α=315°．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動(dòng)了相同的角度，任意一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．旋轉(zhuǎn)的方向、角度、旋轉(zhuǎn)中心是它的三要素；①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了才能正確解答此題．